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Echanges radiatifs entre surfaces grises séparées par un milieu parfaitement transparent

Plan

1. Echanges radiatifs entre deux surfaces noires
1.1. Calcul des facteurs de forme
1.2. Représentation des échanges radiatifs entre surfaces noires par analogie électrique
2. Echanges radiatifs entre deux surfaces opaques grises diffusantes

Annexe : Facteurs de forme

L’air exempt de vapeur d’eau, de dioxyde de carbone et de monoxyde de carbone peut être considéré comme un milieu transparent.
Compte tenu de ce que nous savons sur l’émissivité, sur les coefficients d’absorption de réflexion et de transmission, le calcul des échanges radiatifs entre surfaces devient vite complexe. Aussi, nous limitons nos propos aux surfaces grises et diffusantes (aussi bien en émission qu’en réflexion) qui obéissent donc à la loi de Lambert et dont le comportement radiatif est identique quelque soit la longueur d’onde.

1. Echanges radiatifs entre deux surfaces noires

Pour ce type de surfaces :  ;

Le flux radiatif émis par la surface  en direction de la surface  est égale à :

où  si  est la température de la surface  et, appelé facteur de forme de 1à 2, représente la fraction de flux émis par  qui atteint .
On remarquera que le facteur de forme a un caractère purement géométrique.

De même, le flux radiatif émis par la surface  en direction de la surface  est égale à :

où  si  est la température de la surface  et, appelé facteur de forme de 2à 1, représente la fraction de flux émis par  qui atteint .

La relation de réciprocité  est générale,
si bien que dans le cas d’échanges entre plusieurs surfaces on écrit 
Les surfaces étant noires, le flux  est entièrement absorbé par la surface 2, de même le flux  est entièrement absorbé par la surface 1.
Le flux net échangé par la surface 1 est égal à  et la densité de flux échangé est égal à .

Remarque : par convention, dans la plupart des ouvrages de rayonnement, on compte positivement les pertes d’énergie d’une surface.

1.1. Calcul des facteurs de forme

Soit une surface décomposable en deux surfaces (), l’opérateur intégrale étant un opérateur linéaire, on obtient la relation
Soit une surface fermée constituée de surfaces noires individuellement isothermes, au nombre de .

Pour la ième surface, on peut définir  facteurs de forme .

est le facteur de forme de la surface  avec elle-même qui n’existe que si la surface est concave.

Soit  le flux émis par la surface .

ð

Remarque : il est toujours possible de considérer que plusieurs surfaces en présence constituent une surface fermée en comblant au besoin les espaces vides par des surfaces fictives pour lesquelles la température est celle du milieu ambiant.

Le lecteur adaptera les résultats ci-dessus au cas de deux sphères, de deux cylindres très longs, de deux plans infinis parallèles, d’une demi-sphère ou d’un demi-cylindre très long avec leur plan de base de surface .

Remarque : le lecteur trouvera en annexe, à la fin du chapitre des expressions analytiques des facteurs de forme pour des géométries simples et des abaques pour l’évaluation des facteurs de forme.

1.2. Représentation des échanges radiatifs entre surfaces noires par analogie électrique

La relation exprimant le flux net échangé entre deux surfaces noires , à savoir 
est analogue à celle  donnant le courant électrique qui s’établit entre deux nœuds de potentiels  reliés par la résistance .


 
Le calcul du potentiel " flottant "  se fait simplement en écrivant que le flux radiatif échangé par la surface adiabatique est nul.

ð

2. Echanges radiatifs entre deux surfaces opaques grises diffusantes

Ce type de surface, outre le flux radiatif émis, réfléchit une partie du flux radiatif incident (qu’elle reçoit).
On introduit une nouvelle grandeur , appelée radiosité, constituée du flux émis et du flux réfléchi c’est à dire du flux qui " quitte la surface ".
où  est l’éclairement.

L’émissivité  est relative au rayonnement émis alors que le coefficient de réflexion  dépend du rayonnement incident.
L’introduction de la grandeur radiosité prend tout son intérêt pour des surfaces grises où ses coefficients ont des valeurs " indépendantes " de la nature des rayonnements émis et incident.
Ainsi, on peut écrire  ð pour des surfaces opaques, soit 

Le flux radiatif échangé par une surface  est égal à  différence entre celui émis et celui absorbé.

Cas d’une enceinte (surface fermée)

La surface fermée est constituée de  surfaces .
La radiosité  de la surface  est égale à l’émittance propre de cette surface augmentée de la partie réfléchie, par unité de surface, du flux en provenance de toutes les surfaces (y compris  si cette surface est concave).
L’ émittance propre de  est égale à 
Le flux incident sur  est égale à  soit par unité de surface 
et 

On obtient l’équation  exploitable si l’on connaît .

Si, pour la surface considérée, la donnée est la densité de flux échangé (exemple : surface adiabatique ), alors 

On obtient ainsi un système de  équations linéaires qui permettent de calculer les  radiosités et , en conséquence, les températures ou les flux échangés à partir de la relation .

Représentation des échanges radiatifs par analogie électrique
 

 


ð

Le flux total quittant la surface  est égale à , celui atteignant  est égale à  De même, celui quittant  et atteignant  est égale à . Le flux échangé est donc : 


ð




Pour un petit nombre de surfaces (2, 3 avec conditions particulières de type surface adiabatique ou surface noire ou surface de grande étendue), l’utilisation de l’analogie électrique est rapide et préférable à celle de la résolution du système d’équations linéaires.
Ainsi pour deux surfaces (cas A), on obtient : où 

Annexe : Facteurs de forme

Expressions analytiques pour des géométries simples


 
 
 
 
 
 


 
 
 

Abaques pour l’évaluation des facteurs de forme

Ratio