Analyse de l’échauffement par frottement de matériaux
Pour mesurer le coefficient de frottement f entre deux
matériaux, on réalise un dispositif où un matériau
mobile de conductivité l = 15 w.m-1.K-1
frotte sur un matériau fixe (frein).
Le problème est limité à l’étude des champs de températures
permanents et le matériau fixe sera considéré comme parfaitement
isolé sauf au niveau du contact des deux matériaux.
A
Dans un premier dispositif, le matériau mobile, en forme
de parallèpipède rectangle d’épaisseur
et de section transversale carrée de coté ,
a un mouvement oscillatoire de pulsation w
suffisamment élevée.
On étudie la thermique du matériau mobile.
Dans les conditions citées,
1) On suppose que le matériau mobile répond à l’hypothèse de mur thermique.
1)a) Calculer la densité de flux de chaleur
connaissant la
température
que l’on obtiendrait si on supposait la température uniforme dans le
matériau mobile.
Application Numérique :
et
1)b) Montrer que le champ de température est
régi par le système d’équations,
Résoudre
ce système d’équations et calculer les températures maximale
et minimale pour .
Comparer avec 1)a).
2) Pour affiner l’analyse du problème, on ne
néglige plus les échanges de chaleur par les quatre faces latérales
du matériau mobile en forme de parallélépipède rectangle.
2)a) Ces échanges de chaleur par les faces latérales sont-ils
suffisamment faibles pour pouvoir faire l’hypothèse de barre
thermique (le coefficient d’échange par les faces latérales
est ? Que pensez-vous
de l’hypothèse de mur thermique ?
2)b) En définissant deux axes cartésiens supplémentaires Oy et Oz respectant la forme du matériau mobile, écrire le système d’équations qui régit le champ de températures .
2)c) On ne résoudra pas ce système d’équations, par contre on calculera la température que l’on obtiendrait si on supposait la température uniforme.
| Réponse A1a | Réponse A1b | Réponse A2a | Réponse A2b | Réponse A2c |
B
Dans un deuxième dispositif, le matériau mobile, en forme de disque de rayon R = 12 cm et d’épaisseur e = 6 cm, tourne autour de son axe à vitesse angulaire w suffisamment élevée. Dans ces conditions, le matériau mobile est thermiquement sensible à la moyenne temporelle de la densité de flux de chaleur dissipée par frottement qui est égale à .
1) Pour une valeur de , montrer que l’hypothèse de barre thermique dans la direction axiale est raisonnable.
2) Ecrire le système d’équations qui régit le champ de températures .
3) On ne résoudra pas ce système d’équations, par contre on calculera la température que l’on obtiendrait si on supposait la température uniforme (on prendra ).
| Réponse B1 | Réponse B2 | Réponse B3 |
C
Deux disques identiques (conductivité , diffusivité , rayon , épaisseur ) sont mis brusquement en contact, sous la pression uniforme . Le disque inférieur est fixe, l’autre tourne à la vitesse angulaire constante
La densité de flux de chaleur générée
par frottement au contact des deux matériaux est proportionnelle
à la pression, à la vitesse relative à l’endroit
considéré, le coefficient de proportionnalité est
. |
|
Par symétrie, l’analyse thermique permet de dire que les champs de températures dans chacun des disques sont identiques et, en première approximation, on néglige les gradients axiaux de température si bien que le champ de température dans un disque peut être noté .
1) Montrer que
est solution de :
où est
une constante que l’on déterminera en fonction des données.
2) Ecrire les équations aux limites.
3) Déterminer le champ de température permanent et la constante de temps.
| Réponse C1 | Réponse C2 | Réponse C3 |
D
On réalise, en laboratoire, un dispositif de freinage
schématiquement représenté sur la figure ci-après.
Ce dispositif est destiné à l’étude de la génération
de chaleur par frottement.
Il est constitué :
Lors d’une opération de freinage les plaquettes sont
pressées sur le disque et une puissance mécanique par unité
de surface est
dissipée en chaleur à chaque point
de l’interface disque-plaquette, l’autre face de chaque plaquette ayant été
isolée thermiquement. Par ailleurs, le disque transfère de la
chaleur par convection et rayonnement vers le milieu ambiant à température
prise comme température
de référence ().
On supposera, dans tout le problème, que les transferts de chaleur s’effectuent
uniquement par les deux faces latérales c'est-à-dire que les faces
et
ont été isolées thermiquement.
On note le coefficient
global d’échanges tenant compte des phénomènes de convection
et de rayonnement.
1) Conditions expérimentales, analyse, équations de conduction
On se place dans la situation où l’action de freinage
a pour effet de maintenir une vitesse angulaire
constante.
1)1) Compte tenu de l’isolation des plaquettes et de leurs caractéristiques
thermophysiques, expliquer pourquoi on peut considérer que toute la puissance
par unité de surface
dissipée en chaleur à chaque interface disque-plaquette pénètre
dans le disque et est évacuée ensuite vers l’extérieur.
1)2) Montrer que tout élément de surface
du disque est le siège d’une génération de chaleur de densité
surfacique dans
laquelle est
une fonction périodique ()
dont on précisera la forme, la période ,
le terme moyen
et le terme fluctuant .
1)3) Quelles conditions doivent être assurées :
- pour que soit
uniforme et constant,
- pour que le champ de température ne dépende que de la variable
cartésienne (voir figure)
et du temps.
1)4) Sous les conditions explicitées ci-dessus, montrer que le
champ de température est solution du système,
; ;
;
si la température initiale du disque est celle de l’air ambiant.
2) Résolution du système d’équations
étant périodique, le champ de température peut être décomposé en un terme moyen et un terme périodique
2)1) Ecrire les deux systèmes d’équations correspondant à chacun des termes
2)2) Résolution de
2)2)1) A l’aide de la transformation de Laplace, trouver une solution
valable dans les premiers instants. On précisera la limite de validité
de cette solution.
2)2)2) A partir de la méthode de Fourier, trouver
une solution valable à tous instants. A partir de quel temps, cette solution
est-elle pratique à utiliser ?
2)3) Résolution de
Calculer la quantité
si . Conclusion.
Exprimer une valeur approchée de .
| Réponse D11 | Réponse D12 | Réponse D13 | Réponse D14 | Réponse D21 | Réponse D221 | Réponse D222 | Réponse D23 |