Analyse de l’échauffement par frottement de matériaux

Pour mesurer le coefficient de frottement f entre deux matériaux, on réalise un dispositif où un matériau mobile de conductivité l = 15 w.m-1.K-1 frotte sur un matériau fixe (frein).
Le problème est limité à l’étude des champs de températures permanents et le matériau fixe sera considéré comme parfaitement isolé sauf au niveau du contact des deux matériaux.

A

Dans un premier dispositif, le matériau mobile, en forme de parallèpipède rectangle d’épaisseur et de section transversale carrée de coté , a un mouvement oscillatoire de pulsation w suffisamment élevée.
On étudie la thermique du matériau mobile.

Dans les conditions citées,

1) On suppose que le matériau mobile répond à l’hypothèse de mur thermique.

1)a) Calculer la densité de flux de chaleur connaissant la température que l’on obtiendrait si on supposait la température uniforme dans le matériau mobile.
Application Numérique : et

1)b) Montrer que le champ de température est régi par le système d’équations,

Résoudre ce système d’équations et calculer les températures maximale et minimale pour . Comparer avec 1)a).

2) Pour affiner l’analyse du problème, on ne néglige plus les échanges de chaleur par les quatre faces latérales du matériau mobile en forme de parallélépipède rectangle.
2)a) Ces échanges de chaleur par les faces latérales sont-ils suffisamment faibles pour pouvoir faire l’hypothèse de barre thermique (le coefficient d’échange par les faces latérales est ? Que pensez-vous de l’hypothèse de mur thermique ?

2)b) En définissant deux axes cartésiens supplémentaires Oy et Oz respectant la forme du matériau mobile, écrire le système d’équations qui régit le champ de températures .

2)c) On ne résoudra pas ce système d’équations, par contre on calculera la température que l’on obtiendrait si on supposait la température uniforme.

| Réponse A1a | Réponse A1b | Réponse A2a | Réponse A2b | Réponse A2c |

B

Dans un deuxième dispositif, le matériau mobile, en forme de disque de rayon R = 12 cm et d’épaisseur e = 6 cm, tourne autour de son axe à vitesse angulaire w suffisamment élevée. Dans ces conditions, le matériau mobile est thermiquement sensible à la moyenne temporelle de la densité de flux de chaleur dissipée par frottement qui est égale à .

1) Pour une valeur de , montrer que l’hypothèse de barre thermique dans la direction axiale est raisonnable.

2) Ecrire le système d’équations qui régit le champ de températures .

interviennent dans la condition limite.

3) On ne résoudra pas ce système d’équations, par contre on calculera la température que l’on obtiendrait si on supposait la température uniforme (on prendra ).

| Réponse B1 | Réponse B2 | Réponse B3 |

C

Deux disques identiques (conductivité , diffusivité , rayon , épaisseur ) sont mis brusquement en contact, sous la pression uniforme . Le disque inférieur est fixe, l’autre tourne à la vitesse angulaire constante

La densité de flux de chaleur générée par frottement au contact des deux matériaux est proportionnelle à la pression, à la vitesse relative à l’endroit considéré, le coefficient de proportionnalité est .
Les deux bases sont parfaitement isolées et la chaleur générée est évacuée à la périphérie par l’intermédiaire d’un coefficient d’échanges .
La température ambiante est prise comme référence
().
Initialement les deux disques sont à cette température.

Par symétrie, l’analyse thermique permet de dire que les champs de températures dans chacun des disques sont identiques et, en première approximation, on néglige les gradients axiaux de température si bien que le champ de température dans un disque peut être noté .

1) Montrer que est solution de :
est une constante que l’on déterminera en fonction des données.

2) Ecrire les équations aux limites.

3) Déterminer le champ de température permanent et la constante de temps.

| Réponse C1 | Réponse C2 | Réponse C3 |

D

On réalise, en laboratoire, un dispositif de freinage schématiquement représenté sur la figure ci-après. Ce dispositif est destiné à l’étude de la génération de chaleur par frottement.
Il est constitué :

Lors d’une opération de freinage les plaquettes sont pressées sur le disque et une puissance mécanique par unité de surface est dissipée en chaleur à chaque point de l’interface disque-plaquette, l’autre face de chaque plaquette ayant été isolée thermiquement. Par ailleurs, le disque transfère de la chaleur par convection et rayonnement vers le milieu ambiant à température prise comme température de référence (). On supposera, dans tout le problème, que les transferts de chaleur s’effectuent uniquement par les deux faces latérales c'est-à-dire que les faces et ont été isolées thermiquement.
On note le coefficient global d’échanges tenant compte des phénomènes de convection et de rayonnement.

1) Conditions expérimentales, analyse, équations de conduction

On se place dans la situation où l’action de freinage a pour effet de maintenir une vitesse angulaire constante.
1)1) Compte tenu de l’isolation des plaquettes et de leurs caractéristiques thermophysiques, expliquer pourquoi on peut considérer que toute la puissance par unité de surface dissipée en chaleur à chaque interface disque-plaquette pénètre dans le disque et est évacuée ensuite vers l’extérieur.
1)2) Montrer que tout élément de surface du disque est le siège d’une génération de chaleur de densité surfacique dans laquelle est une fonction périodique () dont on précisera la forme, la période , le terme moyen et le terme fluctuant .
1)3) Quelles conditions doivent être assurées :
- pour que soit uniforme et constant,
- pour que le champ de température ne dépende que de la variable cartésienne (voir figure) et du temps.
1)4) Sous les conditions explicitées ci-dessus, montrer que le champ de température est solution du système,
 ;  ;  ; si la température initiale du disque est celle de l’air ambiant.

2) Résolution du système d’équations

étant périodique, le champ de température peut être décomposé en un terme moyen et un terme périodique

2)1) Ecrire les deux systèmes d’équations correspondant à chacun des termes

2)2) Résolution de
2)2)1) A l’aide de la transformation de Laplace, trouver une solution valable dans les premiers instants. On précisera la limite de validité de cette solution.
2)2)2) A partir de la méthode de Fourier, trouver une solution valable à tous instants. A partir de quel temps, cette solution est-elle pratique à utiliser ?

2)3) Résolution de
Calculer la quantité si . Conclusion.
Exprimer une valeur approchée de .

| Réponse D11 | Réponse D12 | Réponse D13 | Réponse D14 | Réponse D21 | Réponse D221 | Réponse D222 | Réponse D23 |