Le fond d'un récipient métallique (type " casserole ") est soumis à un flux de chaleur uniforme de densité .
La température ambiante sera prise comme référence et on notera :
- la conductivité thermique du récipient,
- l'épaisseur des parois,
- le rayon du récipient,
- la hauteur du récipient,
- le coefficient d'échanges thermiques latéral (paroi cylindrique vertical),
- le coefficient d'échanges thermiques sur le fond intérieur du récipient.

On désire analyser le champ de températures permanent dans le récipient.

1) Dans une première analyse, on ne considère que le fond en forme de disque de rayon R et d'épaisseur e, la température notée étant considérée uniforme.
A partir d'un bilan thermique, calculer l'expression de . A.N.

2) Dans une deuxième analyse, on considère le fond et la paroi cylindrique supposées à température uniforme (notation ).
A partir d'un bilan thermique, calculer l'expression littérale de . A.N.
Indiquer pourquoi la première analyse donne une température trop élevée, pourquoi la deuxième analyse donne une température trop faible.

3) Dans une troisième analyse, on suppose que le fond est à température uniforme notée et que la partie cylindrique se comporte comme une ailette de longueur L en contact thermique parfait avec le fond.
Justifier l'hypothèse d'ailette (ou de " barre thermique ") à partir du nombre de Biot.
On appellera le flux de chaleur évacué par la partie cylindrique.
Ecrire l'équation de bilan thermique pour la partie cylindrique (on appellera le champ de température).
Résoudre cette équation en négligeant tout échange de chaleur à l'extrémité libre de la partie cylindrique.
En déduire et, par un bilan thermique, l'expression littérale de .

Montrer que :

• est inférieur à et supérieur à ,
• tend vers si
• tend vers si

Calculer numériquement pour les conditions du problème.

4) L'analyse du champ de températures dans la partie cylindrique est conservée. En ce qui concerne le champ de température pour le fond, il est supposé uniforme dans l'épaisseur la paroi et à symétrie de révolution. Il sera noté .
Ecrire les équations de bilan thermique pour ainsi que les équations aux limites nécessaires.
On ne résoudra pas le système d'équations.

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 | Réponse 4 |