Afin d'améliorer les performances d'un échangeur de chaleur, on est amené à étudier le tube cylindrique représenté ci-dessous.
Le rayon intérieur est égal à et celui extérieur à .
A l'intérieur circule un liquide à température uniforme , le coefficient d'échanges est .
L'extérieur du tube est en contact avec un liquide à température uniforme , le coefficient d'échanges est .
La conductivité du matériau constituant le tube est

On se propose d'étudier la résistance thermique du dispositif définie par où est le flux de chaleur échangé par unité de longueur du tube.

1) Le tube est nu (sans ailettes), calculer les résistances thermiques correspondant aux coefficients et au tube cylindrique.
En déduire la résistance thermique totale et, à partir des applications numériques, indiquer sur quelle partie du dispositif faut-il intervenir pour améliorer notablement les échanges.

2) Le tube étant muni de n ailettes de largeur e, on étudie, dans un premier temps, le comportement d'une ailette.
2)1) Dans l'hypothèse d'une ailette semi-infinie, calculer l'efficacité de l'ailette c'est à dire le rapport du flux de chaleur échangé avec et sans ailette.
2)2) A partir du comportement d'une ailette de longueur finie, indiquer un ordre de grandeur de la longueur L de l'ailette qui permette de la considérer comme semi-infinie en première approximation (on supposera que les échanges de chaleur à l'extrémité libre de l'ailette sont négligeables).
A.N. Calculer L pour

3)
3)1) Pour le tube en présence de n ailettes supposées semi-infinies de largeur , calculer la résistance thermique de la partie externe du tube.
A.N. Calculer n pour que cette résistance thermique soit divisée par 3 par rapport à celle du tube sans ailette.
3)2) La longueur des ailettes étant , le nombre d'ailettes étant , calculer la résistance thermique du tube avec ailettes et, en pourcentage, l'amélioration des échanges par rapport au tube sans ailettes.

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