On linéarise les lois d’échanges de la chaleur par convection et rayonnement thermique si bien que les densités de flux de chaleur, respectivement et , sont égales à : et où et sont les coefficients d’échanges respectivement de convection et de rayonnement, où est la température de paroi du corps échangeant, les températures de référence du milieu environnant.

Dans tout le problème, on posera .

1) L’étude des phénomènes de convection et de rayonnement thermique conduit, en fait, aux lois suivantes : et où est la constante de Stéfan-Boltzmann et le facteur de forme que nous prendrons dans tout le problème égal à 1.

Etablir un tableau, pour des valeurs de égales à , avec les valeurs de ,, ,, et .
Comparer les valeurs de et . Conclusion.

2) Un matériel électronique dissipant une puissance P est enfermé dans une boite métallique en forme de parallélépipède rectangle de coté , et .
2)a) Expliquer pourquoi on peut considérer que les parois de la boite sont à température uniforme notée .
2)b) Chacune des faces de la boite échangeant par convection et rayonnement conformément à la question 1), compléter le tableau par les valeurs de P correspondant aux différentes valeurs de .

3) La puissance dissipée étant , la température de paroi ne pouvant dépasser 343 K, on place des ailettes sur l’une des faces de dimensions , .
3)a) Expliquer pourquoi la présence d’ailettes diminue la température de paroi.
3)b) Pour et , calculer le flux de chaleur que doit évacuer la face avec ailettes (en fait on calculera le flux de chaleur évacué par les faces sans ailettes et on déduira celui que doit évacuer la face avec ailettes; on pourra utiliser les résultats du tableau ou un coefficient ).
Comparer ce flux à celui que la face évacue sans ailettes.
3)c) Les ailettes de section rectangulaire (épaisseur e, hauteur ) sont supposées semi-infinies, la conductivité du matériau les constituant est .
L’efficacité d’une ailette rectangulaire semi-infinie est égale à
Calculer
En déduire le nombre N d’ailettes nécessaires.

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