;
; 
;
Mesure de la diffusivité thermique
par la méthode flash
(Corrections à apporter à la méthode suivant
les conditions expérimentales)
1)
;
; ;
Recherche d’une solution en 
Nous cherchons la fonction 
sous la forme : 
avec 
En dérivant par rapport à 
,
on obtient :
ð
;
ð 
ð 
ð 
ð 
ð 
ð 
ð 
On intègre cette dernière expression par rapport
à la variable 
.
Le calcul est classique et se fait par parties pour ce qui concerne la fonction
erf.
On obtient : 
ð 
En ce qui concerne la condition ,
nous adoptons la visualisation ci-après.
|
|
|
Pour 
,
on obtient 
et
la solution cherchée s’obtient comme la limite, quand 
,
de :
ð
Utilisation de la transformée de Laplace
;
; ;
ð 
;
; 
avec 
La résolution
de ce système donne : 
dont l’original est directement dans les tables, .
Utilisation des fonctions de Green
;
; ;
La fonction de Green associé à ce problème
est :
La solution sera trouvée à partir de :
Exploitation
La recherche du temps 
où se produit le maximum de la température en une abscisse 
se calcule à partir de la relation,
ð
ð
Cette dernière constitue
une méthode classique de mesure de la diffusivité d’un matériau
où on n’a pas besoin de connaître la valeur de la température.
2)
Recherche d’une solution en
Dans la question 1), nous avons traité cette
question (nous ne pouvions faire autrement avec la méthode en .
Nous avons trouvé pour 
,
Utilisation de la transformée de Laplace
;
; ;
ð ;
;
avec
La résolution de ce système donne : 
dont l’original est presque directement dans les tables. Il convient, pour la
deuxième partie de l’original, d’appliquer le théorème
du retard, 
Utilisation des fonctions de Green
;
; ;
La fonction de Green associé à ce problème
est :
La solution sera trouvée à partir de :
Le calcul de cette intégrale est un peu fastidieux.
Nous posons 
ð
Cette intégrale se fait par parties. On obtient :
Pour cette dernière intégrale, on pose
ð
ð
En reportant, on obtient
Exploitation
La recherche du temps
où se produit le maximum de la température en une abscisse
se calcule à partir de la relation,
ð
ð
avec 
Si
, 
et 
ð
3)
;
; ;
Recherche d’une solution en
Nous ne connaissons pas de méthode pour calculer la solution analytique
Utilisation de la transformée de Laplace
Compte tenu de 
,
l’espace doit être séparé en deux suivant que l’on se situe
pour 
ou 
.
Pour
ð
; 
avec
Pour
ð
; 
avec
La continuité de la température et du flux de
chaleur imposent :
et 
La résolution de ces deux systèmes liés
ne présente guère de difficultés. On obtient,
Ces deux images ont un même original, à savoir
Utilisation des fonctions de Green
ð 
On pose 
ð 
et 
ð
ð 
Exploitation
La recherche du temps
où se produit le maximum de la température en une abscisse
se calcule à partir de la relation,
ð
ð 
ð 
si 
4)
;
; ;
Ce système d’équations peut être traité
par superposition de deux systèmes d’équations en posant :
où
; 
;
; 
et
; 
;
; 
Le système 
a été résolu dans la question 1). 
La solution du système 
doit être recherchée.
Recherche d’une solution en
Nous ne connaissons pas de méthode pour calculer la solution analytique
Utilisation de la transformée de Laplace
Compte tenu de 
,
l’espace doit être séparé en deux suivant que l’on se situe
pour ou .
Pour
ð 
;
avec
Pour
ð 
;
avec
La continuité de la température et du flux de
chaleur imposent :
et 
Les équations obtenues sont identiques à celles obtenues dans
la question 3) à condition d’identifier 
et 
.
On obtiendra donc : 
Utilisation des fonctions de Green
Cette dernière intégrale est identique à celle calculée
dans la question 3) à condition d’identifier 
et 
.
On obtiendra donc : 
La solution complète sera donc :
5)
;
; ;
Recherche d’une solution en
Dans la question 1), nous avons d’abord cherché
puis intégré le résultat.
Nous étendons cette méthode en cherchant la fonction
qui est solution
du système d’équations,
; 
;
; 
Nous avons vu dans la question 1) la forme générale de
la solution, 
ð
En ce qui concerne la condition ,
nous adoptons la visualisation ci-après.
|
|
|
Pour 
,
on obtient 
et
la solution cherchée s’obtient comme la limite, quand ,
de :
ð
Il convient de faire l’intégration par rapport à
la variable 
de
cette équation différentielle du premier ordre avec second membre
non nul.
Pour faire cette intégration, nous appliquons la méthode de la
variation de la constante, c'est-à-dire que la solution se présente
sous la forme générale
En remplaçant dans l’équation différentielle,
on obtient :
Nous posons 
ð 
ð 
ð 
ð
ð 
ð 
Utilisation de la transformée de Laplace
;
; ;
ð ;
;
avec
La résolution de ce système donne : 
dont l’original est directement dans les tables,
.
Utilisation des fonctions de Green
;
; ;
Dans le cours de Conduction mis à disposition sur le
net, la fonction de Green associée à ce système d’équations
n’est pas indiquée. Il est recommandé de calculer la fonction
, solution du
système d’équations,
; ;
;
et de procéder à l’intégration de l’équation différentielle
comme il a été fait dans la méthode en 
.
La fonction de Green associé au système d’équations
(condition limite
de type température imposée) est :
ð 
La solution sera trouvée à partir de :
L’intégration, pour calculer 
a été faite et conduit à :
Remarques
