Expressions mathématiques de l’équation indéfinie de la chaleur
Nous limitons nos propos, facilement généralisables, au cas de
caractéristiques thermophysiques constantes.
Il s’agit de connaitre les expressions de
pour les différentes géométries possibles.
Pour cela, le mathématicien utilisera :
- La relation
- le théorème d’Ostrogradski, à savoir .
Le thermicien lui préfèrera la méthode dite du bilan
thermique : cette méthode revient à appliquer le premier principe
de la Thermodynamique sur un élément de volume adapté aux
géométries et aux symétries du problème thermique.
En fait, théorème d'Ostrogradski et méthode du bilan thermique
sont identiques : l'un est le langage du mathématicien, l'autre du thermicien-physicien.
1) Exemple : le " mur "
On appelle " mur " un système où les échanges
de chaleur se produisent suivant une direction cartésienne, par exemple
x. Les gradients de températures dans les directions perpendiculaires
sont très faibles et les échanges de chaleur par conduction négligeables
Le champ de température est de la forme .
| Réponse 1 |
2) Exemple : Symétrie de révolution sans gradient axial de température
Le champ de température est de la forme,
r étant la distance à l’axe de révolution.
| Réponse 2 |
3) Exemple : Symétrie sphérique
Le champ de température est de la forme,
r étant la distance à un point.
| Réponse 3 |
4) Autres exemples
Système à deux coordonnées cartésiennes
Système à trois coordonnées cartésiennes
Système à symétrie de révolution avec gradient axial de température
Coordonnées cylindriques
Coordonnées sphériques avec symétrie de révolution
Coordonnées sphériques
| Réponse 4 |