Expressions mathématiques de l’équation indéfinie de la chaleur

Nous limitons nos propos, facilement généralisables, au cas de caractéristiques thermophysiques constantes.
Il s’agit de connaitre les expressions de pour les différentes géométries possibles.
Pour cela, le mathématicien utilisera :
- La relation
- le théorème d’Ostrogradski, à savoir .

Le thermicien lui préfèrera la méthode dite du bilan thermique : cette méthode revient à appliquer le premier principe de la Thermodynamique sur un élément de volume adapté aux géométries et aux symétries du problème thermique.
En fait, théorème d'Ostrogradski et méthode du bilan thermique sont identiques : l'un est le langage du mathématicien, l'autre du thermicien-physicien.

1) Exemple : le " mur "

On appelle " mur " un système où les échanges de chaleur se produisent suivant une direction cartésienne, par exemple x. Les gradients de températures dans les directions perpendiculaires sont très faibles et les échanges de chaleur par conduction négligeables
Le champ de température est de la forme .

| Réponse 1 |

2) Exemple : Symétrie de révolution sans gradient axial de température

Le champ de température est de la forme, r étant la distance à l’axe de révolution.

| Réponse 2 |

3) Exemple : Symétrie sphérique

Le champ de température est de la forme, r étant la distance à un point.

| Réponse 3 |

4) Autres exemples

Système à deux coordonnées cartésiennes

Système à trois coordonnées cartésiennes

Système à symétrie de révolution avec gradient axial de température

Coordonnées cylindriques

Coordonnées sphériques avec symétrie de révolution

Coordonnées sphériques

| Réponse 4 |