A) Fonctionnement thermique d'un solénoïde cylindrique "infiniment long"
B) Température d'équilibre du Soleil et de la Terre

A)

Un solénoïde cylindrique est constitué d'un manchon cylindrique creux de rayon interne R, de rayon externe R+e, de longueur L (R << L).
Sur le manchon est enroulé un fil électrique de cuivre (résistivité électrique ). Le fil électrique enroulé forme un ensemble de spires séparées les unes des autres pour éviter tout contact électrique par une résine isolante électrique.

Dans une même section, les spires sont entassées sur une épaisseur e (e << R).
Le champ magnétique créé à l'intérieur du solénoïde est égal à : si est la perméabilité magnétique, n le nombre de spires par unité de longueur et I l'intensité du courant électrique parcourant le fil électrique.

 

La figure ci-contre représente le motif du bobinage constitué de spires (grisées sur la figure) à section carrée de coté a, séparées par de la résine (blanche sur la figure) de conductivité thermique , la distance de séparation est égale à b - a.


Questions préalables

Déduire :
- que le nombre de spires par unité de longueur du solénoïde est égale à ,
- que la longueur de fil sur l'unité de longueur de solénoïde est égale à
- que la puissance électrique dissipée par effet Joule par unité de longueur du solénoïde est égale à : ,
- que la puissance volumique dissipée par effet Joule est égale à :


Un constructeur de composants électroniques propose, à un étudiant de l'IUP Chimie-Biologie option Génie des procédés, d'étudier le comportement thermique du solénoïde : il veut savoir quelle valeur maximale peut atteindre l'intensité du champ magnétique B la résine ne supportant pas une température supérieure à 200 °C.


1) Analyse thermique

Justifier les réponses ci-après.
1)a) Les gradients de température axiaux sont en moyenne négligeables et le champ de température permanent peut être écrit .
1)b) La surface peut être considérée comme adiabatique c'est à dire n'échangeant pas de chaleur et est la température maximale.
1)c) La puissance thermique est évacuée par la surface latérale de rayon , le coefficient d'échanges h étant de l'ordre de (on justifiera cette valeur).
1)d) La donnée e << R permet de penser que la courbure du cylindre n'influence pas le champ thermique et que le manchon peut être assimilé à un mur d'épaisseur e et de surface .
Pour justifier ce propos, montrer que la résistance thermique d'un tuyau creux de longueur L est égale à . Quelle valeur doit-on donner au rapport pour que l'hypothèse de mur thermique soit justifiée à 5% près (on rappelle que ).


A ce stade de l'analyse, l'étudiant constate que le constructeur a deux possibilités :
- soit envisager, compte tenu de l'hétérogénéité du milieu constituant le manchon, une étude numérique conséquente,
- soit se contenter d'une étude analytique simplifiée où le milieu hétérogène du manchon est remplacé par un milieu thermique homogène "équivalent".
Pour des questions de coût, le constructeur commande cette dernière étude.


2) Etude analytique simplifiée

2)1) Détermination de la conductivité thermique équivalente l du milieu homogène

2)1)a) Déterminer la résistance thermique correspondant à la couche de résine d'épaisseur b - a (on prendra une longueur transversale arbitraire H).
2)1)b) Déterminer la résistance thermique de la couche d'épaisseur a constituée successivement de cuivre puis de résine (on prendra une longueur transversale arbitraire H). Simplifier cette expression pour .
2)1)c) Déterminer la résistance thermique correspond aux deux couches d'épaisseurs respectives b - a et a.
2)1)d) Déterminer la résistance thermique d'un milieu homogène de conductivité thermique l de mêmes dimensions.

En déduire que :

A.N. Calculer l si .

2)2)

2)2)a) Justifier les équations régissant le champ de températures.

où on a fait le changement de variable

2)2)b) En déduire que

Calculer la valeur maximale de B pour et .

| Réponse A | Réponse A1a | Réponse A1b | Réponse A1c | Réponse A1d | Réponse A21a | Réponse A21b | Réponse A21c | Réponse A21d | Réponse A22a | Réponse A22b |

B) Température d'équilibre du Soleil et de la Terre

Le Soleil émet dans toutes les directions de l'espace des ondes électromagnétiques dont une partie arrive sur la Terre. Dans tout le problème, on supposera que le Soleil se comporte comme un corps noir.

1)a) Ecrire le flux de chaleur total émis par un élément de la surface du soleil à température en direction d'un élément à la surface de la Terre.
1)b) En déduire que le flux de chaleur total émis par toute la surface du soleil en direction d'un élément à la surface de la Terre est égal à .
Quel nom donne t'on à la constante s ? Quelle est sa valeur ?
1)c) Comment appelle t'on la quantité ?
La valeur maximale mesurée, à partir d'un fluxmètre thermique, pour cette quantité est . Montrer que l'on peut alors calculer la température du Soleil si on connaît le rayon apparent du Soleil. Cette quantité est-elle facilement mesurable ?
On trouve

1)d) Indiquer, pour le spectre d'émission du Soleil, la longueur d'onde correspondant à un maximum de son émittance spectrale ainsi que les valeurs extrêmes des longueurs d'onde minimale et maximale du spectre d'émission du Soleil contenant toute l'énergie au 1% près.
Sur quelles lois convient-il de s'appuyer pour établir les résultats précédents ?

2)a) Montrer que la température de la Terre se calcule à partir de la relation si elle est assimilée à un corps noir ? On trouve
2)b) On considère que la Terre est, en moyenne à la température , calculer la longueur d'onde correspondant à un maximum de son émittance spectrale ainsi que les longueurs d'onde extrêmes de son spectre d'émission.
Que constatez-vous entre les spectres d'émission du Soleil et de la Terre ? Connaissez-vous des systèmes exploitant ce constat ?
Calculer l'émittance totale de la Terre.

3)a) En fait, la Terre ne peut être assimilée à un corps noir pour le spectre d'émission du Soleil et nous admettrons un coefficient de réflexion total .
Quels sont les éléments sur la surface terrestre qui expliquent ce coefficient de réflexion ?
Déduire la température de la Terre dans ces conditions, la Terre restant assimilée à un corps noir pour sa propre émission. Que pensez-vous de la valeur trouvée ?
Calculer l'émittance totale de la Terre.
3)b) Pour expliquer la différence entre et , on admet qu'une partie de l'émission propre de la Terre est absorbée par l'atmosphère terrestre.
Quelle est la proportion d'énergie de l'émission propre de la Terre absorbée par l'atmosphère terrestre.
A quoi attribuez-vous cette absorption ?

; ;

| Réponse B1a | Réponse B1b | Réponse B1c | Réponse B1d | Réponse B2a | Réponse B2b | Réponse B3a | Réponse B3b |