Erreur de mesure de la tempéraure par thermocouple

Ce problème traite des erreurs de mesure de la température par thermocouples, pour un solide dans les parties B et C, pour un fluide dans la partie D.

A)

Un thermocouple est schématisé par deux fils conducteurs cylindriques, très longs, soudés entre eux à l'une de leur extrémité.
On appelle la température de la soudure.

On suppose que les deux fils ont même section , même périmètre , les conductivités thermiques des matériaux étant respectivement et .

Les fils échangent par l’intermédiaire d’un coefficient avec l’air ambiant dont la température est prise comme température de référence.
1) Etablir, à l’aide d’un bilan thermique, l’équation différentielle régissant les champs des températures permanents et dans chacun des fils (on justifiera l'hypothèse de "barre ou ailette thermique" pour chacun des fils, leur diamètre étant au maximum de quelques dixièmes de millimètres).
2) Montrer que le champ des températures dans chacun des fils est de la forme et trouver une relation entre le flux de chaleur évacué par les fils, .
3) Montrer que cette relation est de la forme (que l'on justifiera) où si .

| Réponse A1 | Réponse A2 | Réponse A3 |

(Dans la suite du problème, on raisonnera avec cette équivalence c'est à dire que les deux fils seront confondus en un seul de conductivité thermique l, de périmètre p et de section s).

B)

Le thermocouple est fixé sur la surface d’un solide de grandes dimensions dont on veut mesurer la température

Les fils de diamètre sont en cuivre et en nickel ( et )

1) Comparer la résistance du thermocouple à celle qu’il y a en dehors de la zone de contact du thermocouple.

2) Expliquer pourquoi, dans la zone du contact, il convient d’introduire une résistance supplémentaire dite de constriction
3) En déduire pour et .

| Réponse B1 | Réponse B2 | Réponse B3 |

C)

Pour améliorer le contact solide-thermocouple, ce dernier est enfoncé sur une profondeur dans le solide.

Les contacts solide- thermocouple sont stylisés en par la résistance de constriction , ceux latéraux par un coefficient d’échanges .

1) Montrer que les équations différentielles régissant le champ de température permanent dans le thermocouple sont :

où on a introduit les notations si et si ).

2) Introduire les conditions aux limites nécessaires à la résolution de ces équations différentielles.
On ne fera pas la résolution et on admettra que :

3) Etudier qualitativement comment évolue avec et [On étudiera pour les valeurs limites de et ].
Conclusions relatives à la mesure des températures par thermocouple.

| Réponse C1 | Réponse C2 | Réponse C3 |

D)

On veut mesurer la température d'un fluide situé entre deux plaques planes, parallèles, de températures , de dimensions "infinies".

Par simplification, la forme de la soudure entre les deux fils constituant le thermocouple est un parallélépipède rectangle de faible épaisseur dont chacune des faces en vis à vis des plaques a une surface S.
1) Calculer le facteur de forme entre une face de la soudure et la plaque en vis à vis.
2) Calculer les flux de chaleur échangés par la soudure à température avec chacune des plaques. On appellera e l'émissivité de la soudure.

3) Ecrire le flux de chaleur échangé par la soudure avec le fluide si h est le coefficient traduisant les échanges soudure-fluide.
4) A partir d'un bilan thermique, établir la relation entre .
5) Quelles conditions doivent être assurées pour que .
6) On enlève la plaque (le fluide est de "grandes dimensions"). Que deviennent les résultats précédents ?

| Réponse D1 | Réponse D2 | Réponse D3 | Réponse D4 | Réponse D5 | Réponse D6 |