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Annexe 1 : Fonctions de Bessel - Polynômes de Legendre

En Conduction de la Chaleur, on est souvent amené à résoudre des équations différentielles linéaires du second ordre. Le cas où les coefficients sont constants est classique.
Pour des coefficients variables, nous limitons nos propos à des solutions qui font appel aux fonctions de Bessel ou aux polynômes de Legendre. Ces cas correspondent à des solutions exprimables en séries de puissance.

1. Exemple
Soit líéquation différentielle  pour laquelle on cherche une solution sous la forme .

En reportant dans líéquation, on obtient , soit 
Evidemment les deux séries obtenues ne sont autres que les développements de Mac Laurin de  et .
On notera, aussi, que le développement en série nía de sens que, pour un intervalle de x, où la série est convergente.

2. Les fonctions de Bessel

2.1. Equation de Bessel

ð avec  entier, nul ou fractionnaire.

La fonction  est nommée fonction de Bessel de 1ère espèce díordre, la fonction  est nommée fonction de Bessel de 2ème espèce díordre.
On montre que si  est entier 

2.2. Equation de Bessel modifiée

ð

La fonction  est nommée fonction de Bessel modifiée de 1ère espèce díordre, la fonction  est nommée fonction de Bessel modifiée de 2ème espèce díordre .
Pour passer de líéquation de Bessel à celle modifiée, il suffit de changer m en im ().

ð.
On montre que si  est entier 

2.3. Equation différentielle 

Le changement de fonction  permet díexprimer la solution à líaide des fonctions de Bessel.
En effet, en choisissant tel que , on obtient , soit  pour le signe + et  pour le signe - .

2.4. Equation différentielle  où  sont positifs et  réel ou imaginaire

Le changement de variable  conduit à 

2.4.1. Si  on choisit  de telle sorte que 

On obtient  qui est líéquation du paragraphe 2.3.

La solution est donc  pour le signe + et  pour le signe - où  et  .

2.4.2.

Pour ce cas particulier connu sous le nom " díéquation díEuler ou díéquation de Cauchy ", líéquation différentielle devient .

La solution est  où  sont solutions de líéquation caractéristique .

2.5. Quelques propriétés des fonctions de Bessel

Dans nos propos,  représente une fonction de Bessel quelconque díordre  .

2.5.1. Dérivées

2.5.2. Développements en séries de puissance des fonctions de Bessel

2.5.3. Valeurs asymptotiques des fonctions de Bessel (x ®¥ )

2.5.4. Relations entre quelques fonctions de Bessel et les fonctions trigonométriques ou hyperboliques

2.5.5. Représentation graphique de quelques fonctions de Bessel

2.6. Quelques calculs classiques avec les fonctions de Bessel en Conduction de la chaleur

On a souvent à calculer líexpression 

En multipliant cette équation par et en arrangeant, on obtient 

En intégrant, cette équation devient 

Le calcul se continue à partir de la formule .

Trois cas se présentent suivant la forme de líéquation transcendante :

1)  est racine de ð

2)  est racine de ð

3)  est racine de ð

Exemples de tables de Fonctions de Bessel

3. Les polynômes de Legendre

3.1. Définition
Líéquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients variables  est connue sous le nom " díéquation de Legendre ". Ses solutions sont appelées " fonctions de Legendre ". Si n est nul ou entier positif, ces fonctions sont appelées " polynômes de Legendre ". Nos propos seront limités à ce seul cas.

Remarques :
- en Conduction de la chaleur, on rencontre líéquation de Legendre dans les problèmes sphériques à deux dimensions sous la forme  où .
- nous ne traitons pas ce cas mais, en Conduction de la chaleur dans les problèmes sphériques à trois dimensions, on rencontre les " polynômes associés de Legendre " qui satisfont líéquation différentielle :.

La solution de líéquation de Legendre (obtenable par la méthode des séries de puissance) síécrit où sont respectivement les polynômes de Legendre de 1ére et de 2ème espèces de degré n.

3.2. Propriétés

3.2.1. Développements en séries de puissance des polynômes de Legendre

Les six premiers de ces polynômes sont :
  • si n est impair et supérieur ou égal à 3.





  • 3.2.2. Orthogonalité des polynômes de Legendre

    A partir de líéquation de Legendre, on montre sans peine que :

    En conséquence, le développement díune fonction arbitraire f(x) en termes de polynômes de Legendre (Séries de Fourier-Legendre) peut être écrit :
    ð

    Calcul de 

    Si f(x) et ses n premières dérivées sont continues dans líintervalle [-1,+1]

    Le cas peut être traité simplement en utilisant la relation 

    Le coefficient síécrit alors  en remarquant que la deuxième forme ne peut être utilisée que si f(x) et ses n premières dérivées sont continues dans líintervalle [-1,+1].
    On remarquera que  est une fonction paire de x si n est pair et impaire de x si n est impair.

    Par suite,