CHAPITRE 6 : Résolution par utilisation de la transformée de Laplace

Plan

1. Définition de la Transformée de Laplace et conditions d’existence>/a>
2.Propriétés de la Transformée de Laplace
3. Utilisation de la Transformée de Laplace à partir de Tables
4. Inversion numérique de la Transformée de Laplace
5. Inversion analytique de la Transformée de Laplace
Tables de Transformées de Laplace

1. Définition de la Transformée de Laplace et conditions d’existence

1.1. Définitions préalables

1.1.1. Une fonction f(t) est dite " continue par morceau " sur un domaine fini 

• s’il est possible de subdiviser le domaine en un nombre fini d’intervalles dans lesquels la fonction est continue,

• si f(t) possède une limite finie (à droite et à gauche) à chaque limite d’un intervalle.

1.2. Définition de la Transformée de Laplace et conditions d’existence

• Définition

- l’existence de F(p) suppose la convergence de l’intégrale

- on dit que F(p) est " l’image " de f(t)

• Conditions d’existence de F(p)

• Conséquences

• Remarque importante

2. Propriétés de la Transformée de Laplace

On note la fonction dite " image " de f(t) et la fonction dite " original " de F(p).
Sous réserve des conditions d’existence, la correspondance  est unique (le calcul de f(t) connaissant F(p) -retour à l’original- sera examiné plus tard).

2.1. Linéarité

Si  alors  ; la démonstration est évidente à partir de la définition de la transformée de Laplace.

Exemple : ð où u(t) est la fonction échelon unité.

2.2. Transformée de Laplace de la fonction dérivée

Si f(t) est continue, alors  où  ; la démonstration est évidente à partir de la définition.
Plus généralement, si f(t) est discontinue aux points 

Les expressions ci-dessus se généralisent aux dérivées " d’ordre n " et, en particulier, si la fonction f(t) et ses dérivées sont continues, on obtient :

Exemple : ð

soit 

2.3. Transformée de l’intégrale 

; on pose 

ð

En généralisant, on obtient 

Exemple : ð

2.4. Dérivation et intégration par rapport à un paramètre a

Soit  ð

d’où 

Soit  ð

d’où 

Exemples :
- ð

- ðð

2.5. Théorème du retard

Soit  alors 

En faisant le changement de variable, on montre que 

Transformée de Laplace d’un créneau unité de largeur t ; cas limite de la fonction de Dirac
 

où u(t) est l’échelon unité. ;  Le cas limite où  correspond à la fonction de Dirac .

2.6. Transformée de Laplace d’une fonction périodique

Soit une fonction f(t) périodique de période T, on définit  afin de pouvoir écrire 
Si G(p) est la transformée de Laplace de g(t), alors F(p) la transformée de f(t) s’écrit

ð
Exemple : Train d’impulsion de hauteur A, de largeur, de période T ð

2.7. Théorème de l’amortissement

d’où 

Exemple : ð

2.8. Changement d’échelle de temps (similitude)

d’où  avec, évidemment, k positif.

Exemple :ð

2.9. Dérivation et intégration de la fonction symbolique F(p)

• ð 

Exemple : ð

• ð 

L’équation  devient, dans le cas particulier p = 0,

Exemples :

-  ð

-  se calcule à partir de  dont l’image est ð

-  se calcule à partir de  dont l’image est  ð

2.10. Comportements asymptotiques

• Théorème de la valeur initiale

Si , alors  et on obtient 

Exemple : ; 

• Théorème de la valeur finale

Si ð

2.11. Le Théorème de convolution
On appelle convolution de deux fonctions f(t) et g(t), la fonction h(t) définie par  que l’on note h(t) = f * g .
Cette opération est commutative, c’est à dire que 

On démontre que 

Exemple : Calculer l’original de  sachant que  et que 
Le théorème de convolution donne 

Evidemment, pour cet exemple, il est plus rapide de remarquer que :
(immédiat)

3. Utilisation de la transformée de Laplace à partir des Tables

Dans la pratique, pour un problème donné, on obtient assez facilement l’image F(p), la véritable difficulté se trouve dans la recherche de la fonction f(t) origine.
Cette recherche est aidée par l’existence de Tables de correspondances très complètes qui s’utilisent comme un " dictionnaire " mais dont la manipulation demande de l’expérience pour appliquer judicieusement les propriétés de la Transformée.
A défaut de pouvoir appliquer ces tables, il convient d’avoir recours au théorème d’inversion dontla mise en oeuvre se révèle, souvent, lourde.
Ce théorème appelé aussi " formule d’inversion de Mellin-Fourier " s’écrit :

Cette intégrale se calcule à l’aide du théorème des Résidus,  est une constante réelle supérieure aux abscisses de tous les points singuliers de F(p). Nous traiterons de l’application du théorème d’inversion dans le paragraphe 5 de ce chapitre, pour la suite immédiate de ce chapitre nous utilisons les Tables de Transformées extraites de l’excellent ouvrage de V. ARPACI " Conduction Heat Transfer " édité chez Addison-Wesley

3.1. Première règle de Heaviside

Soit  développable en série de Mac Laurin.

Sachant que , on obtient 
La correspondance étant réversible, dans la pratique on recherche un développement en série de F(p) et on trouve f(t).

Exemple :

On sait que , donc 

et par suite 

3.2. Deuxième règle de Heaviside

est une fraction rationnelle, c’est à dire que P et Q sont des polynômes. On impose que le degré du polynôme Q soit supérieur au degré du polynôme P.
Il suffit de décomposer F(p) selon les règles usuelles et de revenir à f(t) par inversion immédiate de chaque terme.

Exemple 1 : ð

Exemple 2 : ð

3.3. Exemples empruntés à la Conduction de la Chaleur

3.3.1. Remarques générales

• En pratique, on applique la Transformée de Laplace relativement à la variable temps t qui évolue de 0 à l’. L’équation aux dérivées partielles se simplifie et il ne reste que le ou les paramètres d’espace.

• Pour un milieu fini, la solution image ne se trouve pas, en général, dans les Tables et il convient d’utiliser le théorème d’inversion. Toutefois un développement en série permet d’obtenir des formes tout à fait intéressantes de solution complémentaires de celles obtenues par la méthode d’orthogonalisation.

• Pour un milieu semi-infini ou infini, la transformée apparaît (éventuellement après quelques manipulations) dans les Tables et la solution est obtenue plus immédiatement que par la méthode d’orthogonalisation dans les milieux semi-infinis ou infinis.

• Exemple 1 : on étudie la réponse d’un mur semi-infini initialement à température uniforme à un échelon de température. Ce cas correspond à l’exemple 1’ du paragraphe 5.1. du chapitre 4.

ð

Par suite  ð voir tables formule n° 30

• Exemple 2 : on étudie la réponse d’un mur semi-infini initialement à température uniforme à un échelon de flux. Ce cas correspond à l’exemple 2 du paragraphe 51 du chapitre 4.

Soit  ð (voir tables)

• Exemple 3 : on reprend l’exemple 1 pour un mur fini d’épaisseur L en supposant cette face isolée soit  ð 

Ce même problème traité par la transformée de Laplace donne . La fonction origine (qui est la série ci-dessus) ne se trouve pas dans les tables et son calcul nécessite l’utilisation du théorème d’inversion.
Une méthode intéressante consiste à faire un développement en série de l’image .

ð

L’original  figure dans les tables.

Cette dernière solution est adaptée aux les temps faibles pour lesquels le développement en série peut être limité aux premiers termes si L est suffisamment grand, soit aussi t suffisamment petit.

• Exemple 4 : utilisation simultanée de la transformée de Laplace et de la séparation des variables

;  ;

; 

Une recherche de la solution sous la forme conduit à :

On obtient 

Pour trouver , on utilise la technique de la transformée de Laplace.

, soit encore

On en déduit  et 

ð

L’original de se calcule à partir de la formule n° 43 des tables et du théorème de l’amortissement.

Ainsi, 

3.4. Comportement des solutions pour les " faibles " temps ou pour les temps " suffisamment élevés "

On rappelle les théorèmes (valables si les limites existent) :  et si bien que l’original de la transformée obtenue en faisant p grand donne le comportement pour les faibles temps (c’est à dire aussi pour les milieux semi-infinis) et que l’original de la transformée obtenue pour p faible donne le comportement pour les temps élevés.

On comprendra l’intérêt de ces propos sur un exemple.

Exemple : correspond à la transformée de Laplace d’un mur initialement à température de référence, soumis sur sa face x = 0 à un échelon de température  dont on maintient la face x = L à la température de référence.

• pour p élevé, la transformée de Laplace s’écrit . Evidemment, ce résultat suppose ou, mieux, ce résultat est valable pour des temps faibles pour lesquels la condition en  ne s’est pas faite sentir ce qui correspond à l’approximation des milieux semi-infinis.

L’original est 

• pour p faible, la transformée de Laplace s’écrit 

L’original  correspond, bien sur, au régime asymptotique final.

Il existe plusieurs méthodes approchées pour calculer la valeur numérique de l’original f(t) à partir de sa transformée F(p). Dans le cas de fonctions f(t) monotones la plus simple est la suivante :
où il suffit de remplacer la variable p par  pour obtenir f(t) avec une excellente précision. On trouvera ci-après les valeurs numériques .
 

= 0,0833333333	= -32,08333333	= 1279,000076
= -15623,66689	= 84244,16946	= -236957,5129
= 375911,6923	= -340071,6923	= 164062,5128
= -32812,50256

Cette technique, que nous avons utilisée à maintes reprises, est très performante dans des situations complexes où il est " impossible " d’obtenir une solution exacte.
Pour permettre au lecteur d’en juger, nous prenons l’exemple d’un tube métallique de rayons intérieur et extérieur respectivement égaux à  et . Les échanges de chaleur sur la face extérieure du tube sont caractérisés par un coefficient h et une température du milieu extérieur . A l’intérieur, un milieu conductif de conductivité thermiqueest en contact parfait avec le tube (sous certaines conditions, le milieu à l’intérieur du tube peut être un fluide au repos).
Nous considérons que les échanges de chaleur sont radiaux et supposons la paroi du tube métallique suffisamment faible pour négliger les gradients de température dans celle-ci.

Le système à résoudre est le suivant :

où diffusivité du milieu conductif, ,  et .

On obtient sans difficulté . On conçoit facilemment que, aussi simple que soit , l’original ne se trouve pas dans les Tables et que l’inversion analytique est, évidemment, très lourde.
Par contre, l’utilisation de l’inversion numérique se montre particulièrement efficace.

5. Inversion analytique de la Transformée de Laplace

Si  est la transformée de Laplace de , on démontre réciproquement le théorème d’inversion appelé " formule d’inversion de Mellin-Fourier " :
 

Dans cette formule, l’intégration est effectuée sur la droite du plan complexe . Cette droite laisse à sa " gauche " tout point singulier de

5.1. Rappels sur les fonctions  de la variable complexe 

• Une fonction de la variable  est dite uniforme (c’est à dire est à valeur unique ou à simple détermination) si à une valeur de z correspond une seule valeur de f (z). Dans le cas contraire, elle est dite multiforme.

Exemples :
-  est uniforme
-  possède deux déterminations (multiforme)

• Une fonction uniforme f (z) est dite dérivable en  si  existe et est indépendante du chemin suivi (de la façon d’atteindre ) dans le plan complexe .

• est dite holomorphe dans le domaine (R) si  est uniforme et dérivable sur tout le domaine (R).

La condition nécessaire dite condition de Cauchy-Rieman à savoir  est généralement suffisante pour qu’il en soit ainsi.
On a alors 

• Singularités de 

Un point  en lequel  cesse d’être holomorphe est dit point singulier. Si une fonction est holomorphe excepté en des points singuliers, elle est dite analytique.
En pratique, on distingue deux cas :
è les pôles : si  holomorphe dans une région (R) (incluant ), alors  possède un point singulier en  qui est dit " pôle d’ordre n (entier) ". En ce point la fonction devient infinie.
Exemple : possède deux singularités , un pôle double en , un pôle simple en .
è les points de branchement : lorsque, dans le plan complexe, on part d’une valeur  au point  et si, après avoir fait un tour complet autour du point , on ne revient pas à la valeur initiale , alors  est dit " point de branchement " de la fonction . Cet aspect ne concerne que les fonctions multiformes.

En effet  La valeur est aussi acceptable pour  si bien que :  Il existe donc deux expressions de et la fonction  est multiforme. Dans le plan , si on choisit , alors .

Si on fait un tour complet autour de l’origine O, c’est à dire si  fait un tour complet pour revenir au point de départ, alors  et .

Exemple 2 : la fonction est multiforme

En effet, nous pouvons choisir  puisque  quelque soit k entier.
Ainsi a une infinité de valeurs.
Partant de P₀ , chaque fois que l’on fait un tour autour de O, la détermination change.
De manière générale, pour éviter ce problème et rendre la fonction uniforme (c’est à dire à valeur unique), on pratique une coupure dans le plan complexe comme indiqué sur la figure dans le cas du contournement du point origine.
 

Ainsi partant de P0 , on décrite la courbe fermée (G) pour revenir en P0 et  reprend sa valeur initiale en évitant le saut de  .

5.2. Le théorème des résidus

Soit, dans le plan complexe, un domaine (R) délimité par le contour fermé (G).
Si, en , il existe, pour la fonction , un pôle d’ordre k, le théorème des résidus permet d’écrire 

• Si, dans le contour (G), il existe n pôles distincts, alors 

• Dans le cas d’un pôle simple, on démontre que 

• On démontre également (résultat très utile) :  avec  et racine simple de  ð 

Il s’agit de calculer  dans le plan complexe (voir figure 1).
La droite verticale (B) d’abscisse (réel) sera prise telle que  soit suffisamment grand pour que toutes les singularités de  se trouvent à sa gauche.

5.3.1. Cas n° 1

est holomorphe exceptée en des points singuliers qui constituent les n pôles situés à gauche de la droite (B). Cette circonstance, pour les problèmes de Conduction de la Chaleur, se produit généralement dans les milieux limités.
 

On utilise le contour fermé (G) constitué de la droite (B) et du cercle (C) de centre O et de rayon L où L et  sont choisis de telle sorte que le contour contient tous les pôles.

Si nous faisons tendre L vers l’infini, l’intégrale suivant (C) portion de cercle de rayon L tend vers 0 et on obtient  de la fonction .

Exemple : ð

Les pôles sont  et  qui sont des pôles simples.

On utilise et on obtient :

Finalement, 

5.3.2. Cas n° 2

Au cas n° 1, il convient d’ajouter un branchement en 
 

Le contour (G) devient constitué de (B), (C’), (D’), (C0), (D’’) et (C’’). Lorsque nous ferons tendre L vers l’infini, les intégrales suivant les portions de cercle (C’) et (C’’) tendront vers 0. Par contre, il conviendra de calculer les autres intégrales et le calcul devient très lourd. En Conduction de la Chaleur, ce cas se produit pour les milieux semi-infinis. On comprendra tout l’intérêt des tables pré-établies dans le cas de résolution par la transformée de Laplace.

Pour illustrer nos propos, nous prenons l’exemple de  pour lequel le pôle est un point de branchement. Après un long calcul, on peut montrer que l’original est .

Tables de Transformées de Laplace