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CHAPITRE 4 : Les régimes transitoires

Plan

1. Exemples
2. Autres exemples
3. Equation de type " ailette "
4. Conclusions sur les régimes transitoires dans les milieux finis. Constante de temps
5. Orthogonalisation dans les milieux semi-infinis
6. Orthogonalisation dans les milieux infinis

Les régimes transitoires correspondent à l’évolution d’un système d’un état initial (permanent ou en équilibre) vers un état final (permanent ou en équilibre) provoquée par un changement à l’instant initial des sources; le champ de température  dépend du champ de température initial  mais l’influence de clui-ci s’estompe avec le temps. A l’instant initial, au moins une source change, par contre elles demeurent constantes ensuite.
Les régimes transitoires ne doivent pas être confondus avec les régimes variables pour lesquels les sources évoluent au cours du temps.

Le champ de températures est régi par le système d’équations :

La méthode générale de résolution par les fonctions de Green ne peut être envisagée sans posséder une bonne maîtrise préalable de la technique de séparation de variables avec développement en série de fonctions orthogonales.
A partir d’exemples, comme il a été fait dans le chapitre 2, nous allons nous initier et nous perfectionner à cette technique.

1. Exemples

Remarque : dans tous ces exemples, les dimensions restent finies, le cas de dimensions semi-infinies ou infinies sera traité séparément.

1.1. Exemple 1 : la condition initiale n’est pas homogène
 
Il s’agit du cas simple d’un mur sans sources internes.
Au temps t = 0 , on change les sources externes. Dans le cas traité, on impose une température de référence sur les faces du mur, la température initiale n’étant pas à cette température de référence.

Dans un premier temps, la méthode consiste à chercher une solution à variables séparées, c’est à dire sous la forme  .
Le report dans l’équation aux dérivées partielles conduit à  en tenant compte du fait que le premier terme ne dépend que de x et que le second ne dépend que de t .
Par intégration, en tenant compte des conditions aux limites dans la direction x, on obtient :
et 


Remarque : le choix du signe devant  est imposé par le fait que  doit rester fini quelque soit t ; cette remarque impose à la direction spatiale d’être homogène pour conduire à une infinité de valeurs propres.


Dans un deuxième temps, le système d’équations étant linéaire, on cherche une solution sous la forme d’une combinaison linéaire .

La dernière condition aux limites s’écrit 

Le dernier temps consiste à déterminer  par la méthode des fonctions orthogonales.

Le champ de température s’écrit alors :

Remarque : la fonction  sera la fonction de Green du problème pour  .

1.2. Exemple 2 : la direction spatiale n’est pas homogène
 
Par rapport à l’exemple 1, la condition initiale a été rendue homogène et une condition aux limites sur la direction x n’est pas homogène.

Le lecteur vérifiera que la méthode appliquée sur l’exemple 1 conduit à une impasse.


En fait, cette méthodologie n’est applicable que pour :

système 3

Pour rendre le système d’équations de l’exemple 2 en système 3, on utilise la superposition des solutions (linéarité des équations) en cherchant une solution sous la forme où  est le champ de température final indépendant du temps.
Le champ de température  est régi par 

Par différence le champ de température  sera régi par 

La solution est immédiate 

Le calcul de est une application directe de l’exemple 1, on obtient :

1.3. Exemple 3 : l’équation aux dérivées partielles n’est pas homogène
 
Par rapport à l’exemple 1, la condition initiale a été rendue homogène et l’équation aux dérivées partielles n’est pas homogène.

Pour rendre le système d’équations de l’exemple 3 en système 3, on utilise la superposition des solutions (linéarité des équations) en cherchant une solution sous la forme où  est le champ de température final indépendant du temps.
ð

Pour déterminer , la connaissance explicite de P(x) est nécessaire.

Si  ð

Le calcul de est une application directe de l’exemple 1, on obtient :

1.4. Exemple 4 : exemple 1 + exemple 2 + exemple 3
 
Compte tenu des raisonnements, la solution de l’esemple 4 est la superposition des solutions des exemples 1, 2 et 3.
Une autre méthodologie aurait été de chercher une solution particulière aux équations de l’exemple 4 pour obtenir un système 3 d’équations.

La solution particulière serait évidemment 

2. Autres exemples

Remarque préliminaire : la superposition de solutions (avec recherche de solutions particulières) transforme le système d’équations en un système de type 3, on ne traite que des systèmes d’équations de ce dernier type.

2.1. Champ de température 

ð ð

Après intégration et application des conditions aux limites, on obtient :

Le calcul de se fait à partir de 

 


Remarque importante :

La fonction propre apparait comme le produit des fonctions propres :

On obtient ces deux fonctions propres si on traite chacune des directions x et y de manière indépendante.
Ce résultat est général et pourra être utilisé pour un champ de température 


2.2. Champ de température à symétrie de révolution 


La séparation de variables conduit à 

Par intégration, on obtient 

Il convient d’avoir deux conditions homogènes suivant la direction r .
Le cas particulier du cylindre plein conduit à la simplification  car la température doit rester finie en  ().
A titre d’exemple, nous choisissons ce cas particulier et la condition 
Cette dernière condition devient  et conduit à l’équation transcendante .

Par suite, , le calcul de se fait à partir de , on obtient .

Compte tenu de l’équation transcendante,  et

Le cas particulier  ð

Remarques :
- le lecteur aura noté l’introduction de la fonction de pondération ,
- l’identité  est très utilisée.

2.3. Champ de température à symétrie de révolution 

Il convient de raisonner à partir en faisant un rapprochement avec l’exemple du paragraphe 2.1. ou d’utiliser la remarque du paragraphe à savoir produit de fonctions propres suivant les directions indépendantes r et z .
Le lecteur pourra, à titre d’exemple, coupler les problèmes traités dans les paragraphes 1.1. et 2.2.

2.4. Champ de température à coordonnées cylindriques

La séparation de variables conduit à 

La suite du calcul est particulière, le lecteur se reportera avec intérêt au paragraphe 1.3.5.4. du chapitre 2.

se calcule à partir de  est possible [].

En reportant, on obtient :  ð

Le calcul redevient classique, les conditions aux limites suivant la direction r fournissent les valeurs , celles suivant j les valeurs de .

Nous nous limitons à un exemple où 

r = 0 ð D = 0 car

ð

Nous imposons, en plus, la condition  qui implique les équations transcendantes 

où  permet le calcul des coefficients,

2.5. Champ de température à coordonnées cylindriques 

Il convient de raisonner à partir  en tenant compte du paragraphe 2.4. ou d’utiliser la remarque du paragraphe 2.1. à savoir  produit de fonctions propres suivant les directions  d’une part et z d’autre part.

2.6. Champ de température à symétrie shérique


Le mieux, pour cette équation aux dérivées partielles, est de faire la transformation  qui conduit à .
Cette dernière équation est celle du mur.

ð
Le cas particulier de la sphère pleine conduit nécessairement à 

A titre d’exemple, nous choisissons ce cas particulier et la condition qui s’écrit .
La méthodologie est habituelle, on obtient 
avec l’équation transcendante .
L’application de la condition initiale donne 

et 

2.7. Champ de température à coordonnées sphériques 

La séparation de variables  conduit à :

avec  ð

ð

ð

Nous ne donnons pas d’exemple, le lecteur pourra se reporter au chapitre 2 paragraphe 1.3.5.7.

2.8. Champ de température à coordonnes sphériques 

La résolution de ce type de problème fait apparaitre les Polynômes associés de Legendre et ne sera pas envisagée.

3. Equation de type " ailette "


La recherche d’une solution à variables séparées entraine  et .
Le problème sur les dimensions spatiales est inchangé, quant à celui suivant le temps il consiste à changer .

4. Conclusions sur les régimes transitoires dans les milieux finis. Constante de temps

Le champ de température évolue d’un état initial à un étal final indépendant du temps.
Pour illustrer nos propos, nous prenons l’exemple traité dans le paragraphe 12 où à un mur, initialement à température uniforme prise comme référence, on impose sur la face x = 0 une température , l’autre face x = L étant maintenue à température de référence.
représente le champ de température calculé.
Il est constitué de deux termes, le premier  indépendant du temps (régime final permanent), le second [] sous forme d’une série dépendant de l’espace et du temps. Ce second terme devient nul pour un temps suffisant ( lorsque ). représente, ici, l’évolution du champ de température de l’état final à l’état initial.

Les figures ci-après représentent :
- le champ de température en fonction de x pour différentes valeurs du temps,
- le champ de température en fonction du temps pour une abscisse x fixée.

Mis à part les premiers instants, le champ de température se présente sous la forme car on peut se limiter au premier terme de la série.
La constante  est, par définition, la constante de temps du système thermique. Elle joue un rôle important car elle fixe l’échelle de temps, en particulier on peut dire que la phase transitoire est terminée si .
La constante de temps augmente avec les dimensions du système, est inversement proportionnelle à la diffusivité thermique et dépend des conditions aux limites.
Dans le cas particulier considéré, 

Dans un système " parfaitement " isolé siège de sources de chaleur internes ou externes continues, il ne peut exister de régime permanent c’est à dire de régime final indépendant du temps qui suppose que la chaleur instantanée produite au sein du système soit intégralement évacuée à l’instant considéré.
La recherche de solution ne peut s’appuyer sur la recherche d’une solution particulière indépendante du temps.

Nous illustrons nos propos sur l’exemple : 
où un mur, initialement à température uniforme prise comme référence, est soumis sur sa face x = 0 à une densité de flux de chaleur continue, la face x = L étant parfaitement isolée.
La chaleur entrant régulièrement par une face n’étant pas évacuée, il ne peut exister de régime permanent (indépendant du temps).
La recherche d’une solution (la direction x n’étant pas homogène) s’appuie sur l’existence d’une solution particulière dépendant de l’espace et du temps.

ð ð

Il n’existe pas de méthode générale pour trouver une solution particulière. Dans le cas présent, on cherche sous forme de série de puissance en x et en t.

On obtient 

La recherche de la solution est classique.

.
Le calcul des coefficients se fait à partir de 

Après calculs,

Passé un temps suffisant, le champ de température devient asymptotique et égal à .
La notion de constante de temps reste valide, pour le cas particulier étudié elle est égale à  .

5. Orthogonalisation dans les milieux semi-infinis

5.1. Milieu semi-infini cartésien ( 0 < x < ¥ )

La recherche d’une solution à variables séparées (en tenant compte de la condition en x = 0) conduit à :

Dans le cas d’un mur fini d’épaisseur L, on obtient une suite infinie de valeurs discrétes pour qui se rapprochent les unes des autres si l’épaisseur augmente.
Si , on obtient une suite continue pour .
La solution qui se présentait sous forme d’un développement en série des valeurs discrètes de devient une suite continue.


et doit vérifier

L’orthogonalisation conduit à :

Le calcul de est fastidieux et n’est pas reproduit ici.




Après intégration que nous ne reproduisons, on obtient :


Après intégration que nous ne reproduisons, on obtient :

Il s’agit d’une application directe de la formule donnée pour une température imposée.

On trouvera en annexe 2 les propriétés de la fonction erf définie par  et de erfc définie par .

Le changement nous ramène à l’exemple précédent.

La solution est donc,

 

Il s’agit d’une application de la formule flux imposé à condition de rendre la condition en x = 0 homogène.
Nous préférons une autre méthode qui consiste à poser et à remarquer que cette fonction est solution de  [Exemple 1’].

Par suite, 

L’intégration se fait par partie et n’offre guère de difficultés. En tenant compte de , on obtient

Il s’agit d’une application du cas général à condition de rendre la condition en x = 0 homogène.
Nous préférons une autre méthode qui consiste à poser  et à remarquer que cette fonction est solution de  [Exemple 1’].

Par suite,  [équation différentielle du premier ordre avec second membre]

En tenant compte de , on obtient :

5.2. Milieu semi-infini de révolution ( 0 < r < ¥ )

Nous ne reproduisons pas les calculs.

 

5.3. Milieu semi-infini à symétrie sphérique ( 0 < r < ¥ )

La recherche de la solution sous la forme  conduit à : 

A ces équations, il convient d’ajouter le fait que la température en r = 0 reste finie c’est à dire .

La solution pour  correspond à celle d’un mur semi-infini soumis à une condition de type température imposée.

5.4. Approximation milieux semi-infinis

Il nous importe de savoir dans quelles conditions la solution obtenue dans le cadre des milieux semi-infinis s’identifie avec celle du milieu fini réel.
Pour illustrer ce propos, nous prenons l’exemple 1’ du paragraphe 5.1.
Un mur d’épaisseur L, initialement à température uniforme prise comme référence, est soumis sur sa face x = 0 à une température .
La solution " mur semi-infini " c’est à dire L ® ¥ est donnée par : 

Cette solution est acceptable si, en x = L, la température, en première approximation, est inchangée.

ð ;

Les solutions " milieu fini " et " milieu semi-infini " sont identifiables dans les premiers instants de l’évolution.
Pour le cas étudié, suivant la condition limite en x = L, la constante de temps évolue de  à . Il est intéressant de comparer temps d’identification et constante de temps qui est caractéristique de l’échelle de temps du système.

6. Orthogonalisation dans les milieux infinis ( - ¥ < x < + ¥ )

La recherche d’une solution à variables séparées conduit à :
avec 

Nous ne reproduisons pas les calculs. On obtient : 

et 
 

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