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CHAPITRE 3 : Les régimes périodiques établis

Plan

1. Etude du mur en régime périodique établi
2. Application : le cas de la Terre

Le soleil est, sur la terre, le premier exemple de source de chaleur périodique. Ainsi, chacun a constaté l’alternance des saisons qui produit une température plus élevée en été qu’en hiver ou l’alternance journalière qui fait que la température diurne est plus élevée que la température nocturne.
Dans ce chapitre, nous étudions les champs de températures périodiques établis c’est à dire ceux obtenus, dans un système soumis à au moins une source périodique après un temps " suffisant ".
 
La figure ci-contre représente l’évolution de la température en un point donné d’un système soumis à une source de chaleur périodique de fréquence fixée.

La réponse transitoire n’est pas étudiée dans ce chapitre qui est limité au régime forcé ou établi.

Si la périodicité est obtenue à partir de plusieurs fréquences, la réponse du système est la superposition des réponses à chacune des fréquences puisque les équations qui régissent le système sont linéaires.

 

Pour trouver la solution forcée de ce système d’équations, on emploie la méthode dite des " complexes ".
On pose et le système d’équations devient :

Dans le plan complexe, ce système est du type " ailette "et nous avons étudié dans le chapitre 2 les méthodes de résolution.

1. Etude du mur en régime périodique établi

Nous étudions le système thermique simple régi par les équations ci-après;

ð
où le mur est supposé, dans un premier temps, semi-infini.


 
L’application des conditions aux limites conduit à

Le champ de température établi est une onde progressive, amortie, dispersive.

traduit l’amortissement,  la période temporelle,  la période spatiale ou longueur d’onde et  la vitesse de propagation.

Pour un mur d’épaisseur finie L, l’onde progressive se réfléchit partiellement sur l’extrémité et se propage en s’amortissant dans la direction des x négatifs (onde régressive).
La résolution complète du mur fini montre que, si  , le mur se comporte dans ces deux premiers tiers à partir de la face origine comme un mur semi-infini.

Pour un mur d’épaisseur faible telle que  le phénomène de propagation peut être négligé, le champ de température est uniforme, les oscillations ont lieu en phase.

2. Application : le cas de la Terre

Pour la terre humide , pour la terre sèche 
Pour la période annuelle  dans de la terre humide, à 1 m de profondeur l’amortissement est d'environ 50% (si les différences " moyennes " de températures entre l’été et l’hiver sont de 15 °C sur le sol, elles sont de 7,5 °C à la profondeur citée . Dans de la terre sèche, on trouve  et 2 m pour le même amortissement.
Pour la période journalière  dans de la terre humide, à 5 cm de profondeur l’amortissement est d'environ 50% . Dans de la terre sèche, on trouve  et 10 cm pour le même amortissement.
Pour une profondeur égale à une demi-longueur d’onde le déphasage est de p c’est à dire qu’il y a inversion des saisons dans le cas de la période annuelle. On remarquera que l’amortisement de température est de 95,7% .