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Annexe : la loi de distribution des vitesses de Maxwell

Plan

1. Fonction de distribution du vecteur vitesse
2. Fonction de distribution du module de vitesse
3. Calcul d’une valeur moyenne
4. Retour sur la loi de distribution des vitesses
5. Pression d’un gaz parfait
6. Le facteur de Boltzmann
Intégrales

1. Fonction de distribution du vecteur vitesse

Pour un gaz en état d’équilibre, posons la question suivante :
Quelle probabilité existe qu’une molécule ait ses composantes de vitesse comprise entre vx et vx + dvx , vy et vy + dvy , vz et vz + dvz (repère cartésien habituel) ?

Cette probabilité d3P dépend de (c’est à dire vx , vy , vz ) et de dvx , dvy , dvz . Elle ne dépend pas de la position de la molécule puisque le gaz est en équilibre.
Nous postulons que d3P est proportionnelle à chacun des intervalles dvx , dvy , dvz .

Il n’y a pas de direction privilégiée. Nous pouvons faire une rotation circulaire des axes cartésiens, la probabilité sera inchangée (isotropie de l’espace).
La fonction ne dépend pas du vecteur , au mieux elle dépend de l’intensité de vitesse v.

Soit dPx la probabilité pour une molécule d’avoir sa composante suivant l’axe Ox comprise entre vx et vx + dvx .
de même et

L’isotropie de l’espace impose

La loi des probabilités composées implique :

Déterminer les fonctions f et j relève de la méthodologie mathématique suivante :
avec

En réorganisant, on obtient :

Le membre de gauche dépend de v c’est à dire de vx , vy , vz , celui de droite uniquement de vx . Le résultat ne peut être qu’une constante que nous notons a .
Il suit que :

Soit, et des expressions identiques pour .

Alors

Remarquons que a est nécessairement négatif sinon la probabilité pour une molécule d’avoir une composante de vitesse infinie serait infinie ce qui voudrait dire que toutes les molécules seraient à vitesse infinie et que l’énergie serait infinie !!!
Nous posons a / 2 =-B avec B > 0.

La condition de normalisation

La probabilité pour une molécule d’avoir une composante de vitesse comprise entre - et + ou une intensité de vitesse comprise entre 0 et + est égale à 1 (100% de chances).
Ainsi,

Remarque

Nous avons parlé en terme de probabilité. Un langage équivalent consiste à chercher, dans une enceinte contenant N molécules, le nombre dN de molécules ayant certaines caractéristiques, à savoir par exemple, le nombre de molécules ayant une composante de vitesse comprise entre vx et vx + dvx .
Ce nombre est égal à :

2. Fonction de distribution du module de vitesse

Quelle est la probabilité dP(v) pour une molécule d’avoir une intensité de vitesse comprise entre v et v+dv ? ou combien y a t’il de molécules dN(v) dans une enceinte contenant N molécules ayant une intensité de vitesse comprise entre v et v+dv ?
Pour répondre à cette question, nous nous plaçons dans l’espace des vitesses c’est à dire un repère cartésien de coordonnées Ovx , Ovy , Ovz .

Les composantes vx , vy , vz ne sont pas indépendantes puisque liées par la relation .

L’extrémité des vecteurs vitesse ayant une intensité de vitesse v, c’est à dire des composantes de vitesse liée par la relation ci-dessus, se trouve dans l’espace des vitesses sur la sphère de rayon v. Il en sera de même pour l’extrémité des vecteurs vitesse ayant une intensité v + dv.

Dans l’espace des vitesses, nous délimitons une portion d’espace comprise entre la sphère de rayon v + dv et la sphère de rayon v, de volume égal à .
La probabilité d3P est proportionnelle à c’est à dire au volume élémentaire dans l’espace de vitesse. Pour obtenir dP(v), nous devons intégrer d3P à tous les vecteurs vitesse possibles c’est à dire ayant leur extrémité entre les deux sphères.
Cette intégration est particulièrement simple puisque l’intensité v de la vitesse dans cette espace est constante.

On obtient donc :

et aussi, dans une enceinte contenant N molécules, le nombre de molécules dN(v) ayant un module de vitesse compris entre v et v + dv : dN(v) = N dP(v).

3. Calcul d’une valeur moyenne

La valeur moyenne <G> d’une grandeur G est le produit de G multiplié (pondérée) par la probabilité d’obtenir G intégré à toutes les valeurs possibles de cette grandeur.

Ainsi, et

Remarque :

4. Retour sur la loi de distribution des vitesses

La mesure, pour un gaz parfait monoatomique, de la capacité calorifique à volume constant, conduit à :

Si nous formulons l’hypothèse que la partie de l’énergie liée à la température est due à l’agitation cinétique des molécules, nous pouvons écrire :
ð

Nous disposons de deux expressions de la vitesse quadratique moyenne.

Les expressions de distribution des vitesses deviennent :

5. Pression d’un gaz parfait

On a vu (3.1.2.) l’interprétation microscopique de la pression liée aux chocs des molécules sur une paroi.

Nous considérons le choc des molécules sur un élément de paroi dS que nous prenons arbitrairement perpendiculaire à l’axe Ox. Le gaz étant en état d’équilibre, toutes les directions sont équivalentes.

Soient la vitesse incidente d’une molécule frappant l’élément de paroi et sa vitesse après le choc.
Le choc est élastique, la variation de quantité de mouvement pour cette molécule sera si est la composante de suivant la direction Ox. La quantité de mouvement transmise à la paroi sera : .

Combien de molécules de vecteur vitesse frappent la paroi dS pendant un temps dt ?
Elles sont contenues dans un cylindre de base dS, de génératrice parallèle à de longueur . Le volume de ce cylindre est égal à .
Le nombre de molécules sera si N est le nombre de molécules contenues dans l’enceinte de volume V.
La quantité de mouvement transmise à la paroi par ces molécules est que nous devons intégrer à toutes les molécules venant frapper la paroi.
Soit

Les deux premières intégrales sont égales à 1, la troisième à

En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on obtient la pression à partir de

Retrouver l’équation d’état des gaz parfaits prouve la validité et la cohérence des hypothèses formulées.

6. Le facteur de Boltzmann

Nous avons introduit la notion de degré de liberté (possibilité d’énergie indépendante) et avons trouvé que, dans le cas du mouvement de translation suivant un axe, par exemple Ox, le nombre de molécules ayant une composante de vitesse vx est proportionnel à .
représente l’énergie E suivant ce degré de liberté.

Nous généralisons ce résultat en admettant que le terme , appelé facteur de Boltzmann, caractérise la probabilité d’occupation du niveau d’énergie E dans une situation d’équilibre thermique à la température T.

Remarques :

En effet, pour la fonction de distribution du module de vitesse, nous avons trouvé .

Ecrite en terme d’énergie, l’expression ci-dessus devient et la probabilité est proportionnelle à et non au facteur de Boltzmann.

En fait  : les trois degrés de liberté affectés à chaque translation ne sont pas indépendants.

Remarque : Certains trouveront désuet, dépassé, ce cours sur la loi de distribution des vitesses de Maxwell (appelé aussi Théorie cinétique des gaz parfaits), pire réducteur dans la formation d’un étudiant puisqu’il ne met pas en évidence qu’au sens quantique, la Physique est probabiliste par essence.
Le raisonnement probabiliste de Maxwell est induit par l’incapacité à connaître pour un très grand nombre de particules leur position et leur vitesse à chaque instant. Ce raisonnement ne remet pas en cause le déterminisme en Physique à savoir, à chaque instant, chaque particule possède une position et une quantité de mouvement fixées. Le raisonnement de Maxwell est probabiliste par ignorance.
La mécanique quantique et l’inégalité de Heisenberg infirment la possibilité de connaissance exacte de la position et de la quantité de mouvement d’une particule –on doit introduire la notion d’occupation d’une case de dimension finie dans l’espace de phase, et de saut pour passer d’une case à une autre. Le raisonnement probabiliste devient incontournable et la Physique est probabiliste par essence.
Cette nouvelle façon d’appréhender la Physique s’est développée à partir du début du 20ème siècle, nous la croyons trop récente pour être enseignée trop vite à des étudiants qui ne maîtrisent pas suffisamment de connaissances en Physique …d’autant que notre sens commun, au niveau macroscopique, est essentiellement déterministe.


Intégrales avec

Nous intégrons par parties en posant

Nous obtenons une relation de récurrence

A ce stade, nous devons calculer I1 et I0 .

Le calcul de I0 est plus complexe.

et