Plan

1. Pression dans un fluide au repos (en équilibre dans un référentiel galiléen)
1.1. Etude expérimentale dans le champ de pesanteur
1.2. Définition de la pression dans un fluide
1.3. Relation locale traduisant l’équilibre d’un fluide dans un référentiel galiléen
2. Cas d’un fluide au repos dans le champ de pesanteur
2.1. Surface de séparation entre deux fluides non miscibles au repos
2.2. Fluide incompressible (liquide)
2.3. Fluide compressible (gaz)
2.4. Théorème d’Archimède et corps flottants
3. Relation locale traduisant l’équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen
4. Phénomènes de tension superficielle
4.1. Tension superficielle
4.2. Loi de Laplace
4.3. Capillarité. Loi de Jurin
4.4. Mesure des tensions superficielles

Exercices - types

La forme de la membrane est indépendante de l’orientation de la membrane autour d’un même point, les efforts sur la membrane sont perpendiculaires à celle-ci.
Si le fluide est un liquide, la déformation de la membrane augmente de manière significative avec la profondeur.

Autre expérience : si, dans un récipient contenant un liquide, nous perçons un trou, l’écoulement de liquide se produit perpendiculairement à l’orifice quelque soit l’orientation de ce dernier.

1.2. Définition de la pression dans un fluide

Cette portion de fluide n’est pas soumise qu’à son seul poids (voire à d’autres forces dues à un champ extérieur) pour être en équilibre. Elle est soumise à des forces " superficielles " (sur les surfaces délimitant le cylindre) dues au fluide extérieure environnant la portion, les forces internes à la portion n’interviennent pas car elles obéissent au principe de l’action et de la réaction.
Les forces exercées par le fluide environnant sur les bases (non matérielles) dS et dS’ du volume élémentaire de fluide sont normales à celles-ci (sinon il y aurait glissement entre les couches du fluide puisqu’un fluide se déforme à la moindre action extérieure).
La condition d’équilibre sur l’axe horizontal se traduit par .
Soit qui, par définition, est la pression dans le fluide.

Exprimons la relation d’équilibre pour un élément de fluide en forme de parallélépipède rectangle de dimensions dx, dy et dz à partir du point A de coordonnées x, y et z.
Sur la surface rectangulaire ABFE, nous avons une pression et, sur la surface rectangulaire DCGH, nous avons une pression .
Il en est de même sur les autres faces du parallélépipède rectangle en permutant les coordonnées. Les forces dues à des champs de forces extérieures s’écrivent .
En appliquant les relations d’équilibre de la Mécanique et en projetant suivant la direction Oy, on obtient .

Soit encore ; ;

Sous forme vectorielle, ces trois dernières relations s’écrivent :

Remarque : le gradient de pression n’est due qu’aux champs de forces extérieures.

Le fluide a pour masse volumique m et le champ de pesanteur est le seul champ de forces extérieures.
Dans ce cas relation équivalente à si l’axe est vertical ascendant. Ceci constitue le principe de l’hydrostatique.

Remarque sémantique : nous avons employé le mot "Principe" pour traduire une relation (démontrée à partir du principe fondamental de la Mécanique) ; nous aurions du dire Théorème ; en fait, cela se produit souvent en Physique : ce qui était un Principe à une époque devient un Théorème avec l'avancement des connaissances et, souvent, à tort, on garde la première terminologie.

Autre démonstration :

L’augmentation de pression entre une altitude z + dz et une altitude z est due au poids du fluide dans le cylindre de hauteur verticale dz et de surface horizontale unitaire.
L’évolution de pression est donc continue, même à la séparation de deux fluides.
La pression a une altitude z est égale au poids, par unité de surface horizontale, des couches de fluide situées à la verticale au-dessus de z.
Dans un même fluide au repos, les surfaces d’égale altitude sont isobares (même pression).
Dans le système MKSA, les pressions se mesurent en N m^-2 que l’on appelle Pascal (Pa).

Attention, il ne faudrait pas conclure que les forces de pression s’exercent verticalement. Elles s’exercent perpendiculairement à tout élément de surface.

Considérons deux points de cette surface. Soit dz leur différence d’altitude.
On peut écrire, en négligeant toute discontinuité de la pression à la traversée de la surface de séparation : ce qui entraîne dz = 0.

L’étude de la stabilité de l’équilibre montrerait que le liquide de densité plus faible se place au dessus de celui de densité plus forte.

La masse volumique est constante et l’intégration du principe de l’hydrostatique donne Cette relation est souvent appelée principe de Pascal

Applications : baromètre - presse hydraulique

Dans un baromètre à mercure, pour une pression atmosphérique normale, la hauteur h est égale à 760 mm ce qui correspond à
Souvent, les pressions sont exprimées en mm de mercure, en atmosphère ( 1 atm correspond à la pression atmosphérique normale), en bar (1 bar = 10⁵ Pa) ou millibar (mbar).
Nous remarquerons que pour une hauteur d’eau de 3m, la variation de pression est égale à 30000 Pa soit à peu près le tiers de la pression atmosphérique normale.

Un baromètre mesure une pression absolue puisque la pression dans le vide est nulle (pas de masse = pas de poids). Les manomètres qui mesurent les différences de pression seront étudiés en Travaux dirigés et pratiques.

La masse volumique dépend de la pression et nous le verrons de la température. On ne peut intégrer directement la relation dp = -mg dz.
Cependant les masses volumiques des gaz sont faibles (air dans les conditions courantes 1,3 Kg m^-3) et, à l’échelle humaine courante, on négligera les variations de pression avec l’altitude dans les gaz.
Seul l’air atmosphérique présente des différences d’altitude suffisantes pour ne pas négliger les variations de pression (il faut compter de l'ordre de 1 km d'altitude pour que les variations de pression deviennent significatives).

Considérons (Fig. a) un corps entièrement immergé dans un fluide homogène au repos. Il occupe un volume V et subit de la part du fluide des forces de pression.

" Tout corps plongé dans un fluide en équilibre est soumis de la part de celui-ci à une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du fluide de remplacement et appliquée à son centre de masse appelé centre de carène. "

Démonstration : En effet, en l’absence de corps immergé, le fluide de remplacement serait en équilibre sous l’action des forces de pression exercées par le fluide environnant et des forces de pesanteur. La résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant est donc l’opposé du poids du fluide de remplacement.

Autre démonstration : nous appliquons le théorème du gradient (cas particulier du théorème d’Ostrogradsky) pour la résultante des forces de pression sur une surface fermée S contenant le volume V.
(le vecteur est orienté vers l’extérieur de la surface fermée).

On montre aussi que le centre d’application des forces de pression est confondu avec le centre de poussée des forces de pesanteur aplliquées sur le fluide de remplacement.
Ce théorème reste vrai si le corps est immergé dans plusieurs fluides en équilibre.

Lorsque le poids du liquide de remplacement est supérieur au poids du corps, seule une partie de ce dernier est immergée. Le corps est alors soumis à deux forces : son poids, appliqué au centre de masse C, et la poussée d’Archimède appliquée au centre de carène K.

A titre d’exemple, considérons l’équilibre d’une boîte parallélépipèdique à section rectangulaire ouverte flottant sur l’eau (Fig. b). Une telle boîte, de dimensions L = 10 m, l = 4 m, h = 3 m et de masse M = 20 t, constitue un modèle simplifié d’une embarcation flottant sur l’eau. Elle s’enfonce dans l’eau d’une hauteur h’ telle que :
Notons que, la boîte étant ouverte et les parois latérales de masse négligeable, le centre de masse C est situé au centre de la base rectangulaire, alors que le centre de carène K est au- dessus de lui à la distance h’/2 . Dans ce cas, l’équilibre est stable : une légère rotation de la boîte autour de l’axe longitudinal passant par le centre de masse produit des oscillations autour de la position d’équilibre.

En Mécanique, on apprend que le mouvement d’une masse " ponctuelle " m (mieux : le mouvement du centre de masse d’un système matériel de masse totale m) est régi, dans un référentiel non galiléen, par la relation où on introduit les forces d’entraînement et de Coriolis.
L’absence de mouvement relatif imposent accélération et vitesse relatives nulles et donc et
Par suite, la relation d’équilibre s’écrit .
Pour le champ de forces extérieures de pesanteur

4. Phénomènes de tension superficielle

Une molécule au sein d’un liquide est soumise de la part des autres molécules à des forces de Van der Waals d’origine électromagnétique qui varient en . Ce type d’interaction décroît très rapidement et peut être négligé au-delà d’une distance de l’ordre d’une dizaine de nanomètres.
A la surface de séparation de deux fluides (liquide-gaz ou liquide-liquide), la situation est différente en particulier l’isotropie des forces qui existe au sein d’un fluide n’est plus la règle et il apparaît un système de forces différent dans la couche capillaire (couche de liquide proche de la surface de séparation de deux fluides et dont l’épaisseur est de l’ordre du nanomètre).
A titre d’exemples, chacun visualisera que l’on peut soulever une pellicule d’eau savonneuse avec un anneau et qu’en soufflant sur cette pellicule on peut former un bulle de savon dont la surface en forme de sphère est tendue.

• Pour une goutte sphérique de liquide de rayon R dans l’air, si est la pression dans le liquide et celle dans l’air, on montre que
• Pour une bulle de vapeur de rayon R dans un liquide, si est la pression dans le liquide et celle de vapeur, on montre que
• Pour une bulle de savon de rayon R, si est la pression dans la bulle et celle extérieure, on montre que

L’angle q de contact dépend de l’interface : il est de 0° pour les interfaces eau-verre propre et éthanol-verre propre et respectivement de 140°, 90° et 107° pour les interfaces mercure-verre, eau-argent et eau-paraffine.

Il existe plusieurs méthodes de mesure des tensions superficielles. Nous citerons celle utilisant directement la loi de Jurin, celle utilisant l’arrachement d’un solide du liquide et celle utilisant le détachement des gouttes de liquide d’un tube.

2) Calculer les efforts transmis aux chaînes (on négligera le poids propre de la vanne) et la réaction de l’axe OO’.
Application numérique : h = 4m ; L = 5m ; l = 6m

2 - On remplit d’eau sur une hauteur h un verre de forme cylindrique. On appelle S la section

1) Calculer la résultante des forces de pression sur les parois du verre. Interpréter le résultat

2) Mêmes questions avec un verre en forme de cône, un verre ballon.

4 - Une vanne plane verticale de forme rectangulaire (largeur L et de hauteur l), articulée autour d’un axe (figure ci-dessous), maintient le niveau de deux liquides non miscibles de masses volumiques respectives . Le niveau du liquide de masse volumique se situe à une hauteur h (le liquide 1 dépasse l’extrémité haute de la vanne). L’autre liquide de masse volumique est situé à une hauteur H-h au de dessus du premier liquide. La face de la vanne du côté liquide est complètement noyée dans le liquide de masse volumique .

1) Calculer la force de poussée due à la pression hydrostatique du liquide s’exerçant sur la face verticale de la vanne.

2) Déterminer la position du point d’application C de cette poussée en fonction de .
On vérifiera que ð

5 - Une cloche hémisphèrique ( rayon R, épaisseur e<< R, masse m) repose sur un plan horizontal. Elle contient de l’eau jusqu’à une hauteur h. Un orifice pratiqué au sommet permet de maintenir la pression atmosphèrique à l’interface eau/air. L’épaisseur de paroi e est suffisamment faible pour considérer comme identiques les surfaces intérieure et extérieure de la cloche.

7 - La figure schématise un manomètre à liquide (masse volumique m) à réservoir de section

Calculer la nouvelle sensibilité.

8 - Un manomètre différentiel est constitué de deux récipients cylindriques, de sections droites respectives , reliés par un tube de section intérieure s constante.

A.N. ; ;

9 - Démontrer la loi de Laplace pour un goutte sphérique de liquide dans de l’air, pour une bulle de vapeur dans un liquide, pour une bulle de savon.

10 – Démontrer la loi de Jurin