Exercices de Mécanique des fluides

A) Ecoulement aérodynamique et écoulement hydrodynamique

On considère l’écoulement horizontal d’un gaz d’une région où règne une pression (le gaz a une vitesse pratiquement nulle) à une région de pression (le gaz a une vitesse v). Cet écoulement est régi par les équations de St Venant (écoulement aérodynamique).
Montrer que si (on rappelle que la vitesse du son est égale à )
A.N. Calculer, pour de l’air à température ordinaire, pour .Conclusion.

| Réponse |

B) Mesure d’un débit

3) Calculer le débit d’eau, en déduire la vitesse à l’arrivée sur le convergent.
4) A partir de la comparaison des pressions entre les points A et B, expliquer deux applications du phénomène observé.

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 | Réponse 4 |

| Réponse 1 | Réponse 2 |

| Réponse |

D) Vidange d’un réservoir

2)1) Comparer à l’instant t , pour une surface de l’eau de cote z toujours très supérieure à la section s de l’orifice, vitesse v(z) du niveau d’eau à la cote z et vitesse d’éjection.
2)2) En déduire que et que l’équation différentielle donnant la hauteur d’eau est .
3) Le récipient a la forme d’un cylindre de révolution de rayon . Calculer le temps de vidange si la hauteur d’eau initiale dans le récipient est H.

4) Clepsydre : le rayon r du récipient à la cote z est donné par .
4)1) Déterminer les coefficients n et a pour que le niveau d’eau du récipient baisse régulièrement de 6 cm par minute.
4)2) Quelle est la hauteur minimale z = h d’eau dans le récipient pour que .
4)3) Quel volume d’eau doit-on mettre dans le récipient pour que le temps d’écoulement de l’eau entre la hauteur H et la hauteur h soit de 15 minutes ? Quelle a pu être l’utilité de cet appareil ?

5) Le récipient a la forme d’une sphère de rayon . Calculer le temps de vidange si la hauteur d’eau initiale dans le récipient est H.

| Réponse 1 | Réponse 21 | Réponse 22 | Réponse 3 | Réponse 41 | Réponse 42 | Réponse 43 | Réponse 5 |

Un canal rectiligne de grande longueur, à fond horizontal, possède localement une section rectangulaire de largeur l, où la profondeur d’eau est h. La vitesse d’écoulement, supposée uniforme sur cette section droite est égale à v. Les quantités l, h et v varient, mais sur de très grandes distances caractéristiques, le long du canal.
L’ écoulement de l’eau, assimilée à un fluide parfait homogène et incompressible, est stationnaire.
1) Exprimer le débit volumique q à travers une section du canal ; que peut-on dire ?

2) Montrer que la quantité est une constante, que l’on notera , le long du canal.
3) Exprimer q en fonction de . Tracer , pour fixées, la courbe donnant q en fonction de h. Déterminer la valeur maximale de q et la hauteur (dite critique) correspondante.
Montrer, que pour une valeur q donnée du débit inférieur à , il existe 2 valeurs possibles et de la hauteur h, avec .

correspond au régime " torrentiel " (faible hauteur, grande vitesse).
correspond au régime " fluvial " (hauteur élevée, faible vitesse).

4) la largeur du canal diminue progressivement, discuter, selon le type de régime, dans quel sens se modifie h.

5) Des perturbations de la surface libre peuvent se propager, dans le référentiel où localement l’eau est immobile, à la célérité .
Etudier, selon le type de régime, si ces perturbations peuvent ou non remonter vers l’amont, c’est à dire si la présence d’un obstacle dans le canal a un effet sur l’écoulement en amont.

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 | Réponse 4 | Réponse 5 |

La pression atmosphérique est égale à , l’intensité du champ de pesanteur est .
1) Montrer que si l’extrémité aval A de la conduite est à l’air libre, on aura un phénomène de cavitation (la pression p devient inférieure à la pression de vapeur saturante de l’eau à 20 °C) dans une région de la conduite que l’on déterminera.
2) On visse à l’extrémité une tubulure de section décroissante (injecteur), de diamètre d . Montrer que la cavitation disparaît si  ; calculer .
3) L’injecteur a un diamètre de sortie . Calculer la vitesse de l’eau à la sortie de l’injecteur, le débit massique et la puissance cinétique du jet.

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 |

L’écoulement de l’eau dans la canalisation est monodimensionnel soit .
L’eau est assimilée à un fluide parfait incompressible de masse volumique m.
1) Montrer que, compte tenu des hypothèses faites, la vitesse de l’écoulement dans la canalisation est uniforme c’est à dire que .
2) Si A et B sont deux points d’une même ligne de courant (C), montrer, en intégrant l’équation d’Euler, que :

3)a) Que devient la relation précédente si A est un point de la surface libre du réservoir et si B se confond avec V extrémité de la canalisation.
Intégrer l’équation différentielle obtenue dans les premiers instants après l’ouverture de la vanne en supposant que h ne varie pratiquement pas et montrer que

A.N. :  ; Calculer et le temps nécessaire pour que v diffère de moins de 1% de cette valeur.
3)b) Soit M un point d’abscisse x de la canalisation. Calculer la pression en appliquant la relation de la question 2) entre M et V.

4) La hauteur d’eau dans le réservoir est h’ et la vitesse d’écoulement de l’eau est .
Au temps , on ferme la vanne, la vitesse d’écoulement varie selon si T est la durée (supposée courte) de fermeture de la vanne.
En appliquant la relation de la question 2) entre les points A et M, calculer la pression .
Montrer que cette pression est maximale en , au temps .
Commenter l’application numérique pour , et .

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3a | Réponse 3b | Réponse 4 |

Dans tout le problème, on admettra que le jet d’eau est de vitesse v suffisamment importante pour négliger les forces de pesanteur.
En déduire que si les trajectoires dans un liquide sont rectilignes et parallèles, la pression dans le liquide en contact avec le milieu ambiant est égale à pression du milieu ambiant.

Plaque plane
Sur une plaque rectangulaire homogène (largeur 2l, masse m), on fait arriver un jet d’eau (masse volumique m.) parallèle, horizontal de débit massique , de vitesse , de section s.
Après impact, on suppose que le jet se sépare en deux jets tangentiels à la plaque, l’un vers le bas de débit massique de section , l’autre vers le haut de débit massique de section .

2) Plaque mobile
La plaque est libre et se déplace à vitesse .
L’angle a est nul et la direction centrale du jet frappe la plaque en son centre.
2)a) Montrer que l’action du jet et de l’air environnant sur la plaque se traduit par une force (pour établir ce résultat, on se placera dans un référentiel lié à la plaque de vitesse par rapport au référentiel fixe).
2)b) Calculer, dans , en fonction de  :

• la puissance mécanique reçue par la plaque
• le débit d’énergie cinétique de l’eau à travers s,
• le débit d’énergie cinétique de l’eau à travers

Etudier l’expression de rendement en fonction de u/v.

4) Plaque courbe mobile
La plaque est maintenant à vitesse constante .
4)a) Exprimer les composantes de la force exercée par le liquide sur la plaque en mouvement.
4)b) Exprimer, dans , la puissance absorbée par la plaque en mouvement en fonction de . En déduire le rendement du dispositif r’ , rapport de la puissance absorbée par la plaque à la puissance incidente du jet. Etudier ce rendement en fonction du rapport u/v.
4)c) Comment sont modifiés les résultats des questions 4)a) et 4)b) si le jet d’eau frappe une série de plaques courbes identiques, réparties régulièrement à la périphérie d’une roue (turbine Pelton).

| Réponse 1a | Réponse 1b | Réponse 2a | Réponse 2b | Réponse 3 | Réponse 4a | Réponse 4b | Réponse 4c |

Dans un fluide parfait, homogène et incompressible (air ou eau) de masse volumique m , est immergée une hélice. On se place dans un référentiel (R), supposé galiléen où l’hélice est animée d’un mouvement de rotation à vitesse angulaire constante autour de son axe x’x fixe

On fait les hypothèses suivantes :

• le mouvement du fluide autour de l’hélice est supposé stationnaire dans (R) et à symétrie de révolution autour de x’x,
• la figure représente un tube de courant dans (R), dans l’hypothèse où  ; loin de l’hélice, la vitesse du fluide est en amont de l’hélice et en aval,
• la pression à grande distance de l’hélice, dans toutes les directions, est uniforme et vaut (c’est vrai en particulier sur et ),
• les sections et du tube, très voisines de l’hélice, ont leurs aires pratiquement confondues de valeur S ; les pressions sur ces sections y sont uniformes et respectivement égales à et ,
• la vitesse du fluide au voisinage de l’hélice dans (R) est supposée uniforme de valeur ,
• on suppose qu’il n’y a aucune dissipation d’énergie mécanique par frottement dans le contact fluide-pales de l’hélice et on néglige les effets de la pesanteur.

1) Ecrire les deux relations entre .

2) Evaluer les pressions et en fonction de .
En déduire la résultante des efforts exercés par l’hélice sur le fluide en fonction de  ; discuter le sens de .
3) Evaluer par ailleurs, en appliquant le théorème d’Euler dans (R) à un volume de contrôle de grandes dimensions entourant l’hélice. En déduire la relation entre .

4) Evaluer la puissance fournie au fluide par l’hélice, mesurée dans (R) :
4)a) à partir de .
4)b) en appliquant le principe de conservation de l’énergie à un système convenable. On exprimera en fonction de et du débit massique circulant dans le tube de courant représenté.

5) Application à la propulsion d’un vaisseau (avion, navire) :
Le vaisseau a, par rapport à la terre où le fluide est immobile à grande distance de l’hélice, une vitesse constante (). Le fluide est éjecté vers l’arrière de l’hélice à une vitesse , à grande distance de celle-ci, étant mesurée par rapport à la terre.
5)a) Evaluer le rapport énergétique de la propulsion ; est la puissance fournie à la coque du vaisseau, mesurée dans le référentiel terrestre et la puissance fournie par le moteur actionnant l’hélice.
On exprimera h en fonction de u et . Dans quelles conditions h est-il maximal ? Que faut-il en penser ?
5)b) A.N. : Calculer le rapport pour (avion) et (navire)

6) Application au fonctionnement d’une éolienne
Dans ce cas, (R) est le référentiel terrestre et .
6)a) Quelle est la forme du tube de courant ?
6)b) Soit P la puissance obtenue sur l’arbre de l’éolienne . On pose  ; S et étant données, pour quelle valeur de x, la puissance P est-elle maximale ?
6)c) Le rendement énergétique r est défini comme le rapport de P au débit d’énergie cinétique de l’air à travers la section du tube de courant. Exprimer r en fonction de x. Que vaut r lorsque la puissance P est maximale ?
6)d) A.N. :  ;  ; le diamètre de l’hélice est 10 m ; calculer .

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 | Réponse 4a | Réponse 4b | Réponse 5a | Réponse 5b | Réponse 6a | Réponse 6b | Réponse 6c | Réponse 6d |

J) Ecoulement laminaire sur un plan incliné

Calculer les vitesses maximales pour et ,

• dans le cas de l'eau ()
• dans le cas de l'huile ( ).

| Réponse |

Le fluide a pour masse volumique m, sa viscosité dynamique est appelée h. On néglige les effets du champ de pesanteur.

1)b) Montrer que l’équation de Navier-Stokes conduit à :  ; .

En déduire, compte tenu des conditions aux limites en , que :
1)c) Calculer la vitesse moyenne de l’écoulement et la contrainte tangentielle à la paroi .
1)d) Le nombre de Reynolds est défini par la relation où , appelé diamètre hydraulique, est défini par la relation (S : section de la conduite ; p : périmètre de la section).
Montrer que le coefficient de frottement défini par est égal à .

Montrer que le coefficient de perte de charge défini par est égal à ( représente la chute de pression pour une conduite de longueur )

2) Reprendre la question 1) dans le cas d’une conduite circulaire ; montrer que  et que ; écrire la loi de Poiseuille c’est à dire la perte de charge par unité de longueur en fonction du débit volumique.

| Réponse 1a | Réponse 1b | Réponse 1c | Réponse 1d | Réponse 2 |

L) Viscosimètre de Couette

1) Montrer que le champ des vitesses du liquide peut être écrit sous la forme :

2) Ecrire, au rayon r, la vitesse de glissement entre deux couches de fluide successives. En déduire la force de viscosité sur une surface de hauteur h , de rayon r, d'angle ainsi que le moment de cette force par rapport à l'axe de rotation.

3) En écrivant que le moment des forces de viscosité est égal au couple G exercé par le moteur pour faire tourner le récipient, montrer que .
Calculer les coefficients A et B.

4) Calculer le couple moteur G connaissant l'angle de rotation a du cylindre intérieur mesuré à partir de sa position initiale correspondant à un récipient extérieur immobile.

5) Etudier le cas .

A.N. ; ; ; le récipient extérieur tourne à 90 tr/mn ; le couple moteur est égal à

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 | Réponse 4 | Réponse 5 |

On considère un fluide incompressible (air à des faibles vitesses d’écoulement) de masse volumique m entourant un obstacle cylindrique de rayon R et d’axe Oz.

1) Dans cette partie, le fluide est parfait (viscosité nulle).
1)1) Déduire que et que .
1)2) Ecrire les conditions aux limites satisfait par le champ de vitesses au voisinage de l’obstacle (), à l’infini ().
1)3) Montrer qu’une solution type satisfait les équations du problème. On calculera les constantes A et B, on exprimera les composantes du champ de vitesses . Quelles remarques peut-on faire sur la forme générale du potentiel  ?

On rappelle que

1)4) Calculer, à partir de l’équation de Bernoulli, la pression [on posera ] et déduire la résultante des forces de pression qui s’exerce sur l’obstacle. Le résultat est-il paradoxal ?

2) Le fluide n’est plus parfait et on note h sa viscosité dynamique.
On étudie une situation où le fluide est au repos à l’infini et où le cylindre tourne autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire . A cause des forces de viscosité, le fluide est mis en rotation, sa vitesse est égale à celle du cylindre pour et diminue en s’éloignant.
On suppose que l’écoulement est irrotationnel
2)1) Montrer que le champ des vitesses reste régi par des équations de type et .
2)2) Chercher une solution à partir du potentiel .
2)3) Calculer, par un calcul direct, la circulation de sur une courbe fermée entourant le cylindre. N’y a t’il pas une contradiction entre le résultat trouvé et la relation .

2)4) Montrer que, pour un fluide visqueux en écoulement irrotationnel, l’équation de Navier-Stokes : se ramène à celle d’Euler du fluide parfait.

On pourra utiliser :

3) On superpose les situations 1) et 2) : le cylindre tourne à vitesse angulaire dans un vent à vitesse loin du cylindre. On suppose l’écoulement irrotationnel.
3)1) Montrer que le potentiel est solution de et de  ; calculer les composantes du champ de vitesses .
Comparer vitesse du fluide pour et vitesse du cylindre. En déduire que la solution trouvée pour le champ des vitesses n’est pas totalement satisfaisante pour étudier l’effet Magnus.
3)2) Calculer la pression [on posera ] et déduire la résultante des forces de pression appelée portance qui s’exerce sur l’obstacle.
Ecrire ce dernier résultat en introduisant la masse volumique du fluide, le volume du cylindre, son vecteur rotation et la vitesse à l’infini du fluide.
Le résultat vous paraît-il en accord avec vos observations courantes sur le mouvement des balles ou ballons ?

4) En transposant les résultats précédents et en introduisant le forces de pesanteur et les forces de frottement supposées proportionnelles au vecteur vitesse, écrire l’équation fondamentale de la dynamique pour le mouvement du centre de masse d’un mobile de type balle de golf, tennis, tennis de table ou ballon de football, de rugby.

| Réponse 11 | Réponse 12 | Réponse 13 | Réponse 14 | Réponse 21 | Réponse 22 | Réponse 23 | Réponse 24 | Réponse 31 | Réponse 32 | Réponse 4 |

L’onde sonore (ou acoustique) est assimilée à la propagation d’une perturbation de pression . Dans le cadre de l’approximation acoustique, on considère que :

• ( : pression du fluide en équilibre thermique à température ),
• ,
• tout élément du fluide évolue sans échanger de la chaleur avec les autres éléments du fluide à son contact [transformation adiabatique quasi-statique pour laquelle on introduit le coefficient de compressibilité adiabatique ) ],

1) Montrer que la propagation de l’onde sonore est régi par les équations :

• où est la masse volumique du fluide en équilibre thermique et la variation de cette masse volumique due à l’onde sonore,
• en négligeant les effets de la pesanteur

2) En déduire l’équation de propagation vérifiée par et la vitesse de phase c (vitesse du son).
Montrer que, pour un gaz parfait, .
Application numérique pour l’air dans des conditions normales de pression et température.

| Réponse 1 | Réponse 2 |

Loin en amont du col, la pression est , la masse volumique , la température et la vitesse pratiquement nulle.

1) En écrivant, d’une part la conservation de la masse, et d’autre part l’équation de Bernoulli entre deux points infiniment voisins de l’écoulement, démontrer la formule d’Hugoniot :
si, à l’endroit considéré, S est la section de la conduite, v la vitesse de l’écoulement, c la vitesse du son et le nombre de Mach.

En déduire que :

• pour un écoulement subsonique (Mach<1), la vitesse croît lorsque la section diminue,
• pour un écoulement supersonique (Mach>1), la vitesse croît lorsque la section augmente.

2) Une tuyère supersonique est calculée de telle sorte qu’au col la vitesse de l’écoulement soit égale à celle du son si bien qu’en amont la vitesse de l’écoulement est inférieure à celle du son alors qu’en aval elle est supérieure.
On notera enfin que vitesse de l’écoulement et vitesse du son à un endroit dépendent des caractéristiques du fluide à cet endroit c’est à dire de sa pression p, de sa masse volumique m et de sa température T.
2)a) A partir de l’équation de St Venant, établir la relation où sont respectivement les vitesses du son au col et loin en amont du col (on négligera et on notera la pression, la masse volumique et la température au col).
2)b) En déduire que  ;  ;
2)c) Montrer :
que et que

| Réponse 1 | Réponse 2a | Réponse 2b | Réponse 2c |

P) Etude (simplifiée) des mouvements d'air de l'atmosphère dans un plan horizontal

Pour les mouvements dans un plan horizontal, le vent, même dans les conditions d'une tornade, peut être considéré comme un écoulement hydrodynamique pour lequel nous négligerons les forces de viscosité.
On limite l'étude à des mouvements d'air définis par

1) Montrer que la composante ne dépend pas de q .
2) Ecrire les composantes de l'équation d'Euler sur les axes () et en déduire que les isobares sont des cercles de rayon r.

3) Une zone de hautes pression (anticyclone) est caractérisée par une surpression maximale en O de 10 hectopascals et un rayon de 1000 km.

3)a) Simplifier l'équation d'Euler et calculer un ordre de grandeur de v(r) pour

3)b) Doit-on faire une différence entre l'hémisphère Nord et l'hémisphère Sud ?

3)c) Les photos météorologiques montrent des mouvements d'air en forme de spirale. Expliquer en quoi l'étude précédente est très simplifiée.

4) Tornade

Une tornade est un mouvement d'air violent sur une faible étendue que l'on modélise :

• par une zone cylindrique de rayon R où
• par
• par une pression

On prendra et une vitesse maximale du vent égale à 60 m/s.

4)a) Calculer la vitesse en tout point. En déduire la valeur numérique de w. Quelle est la vitesse dans "l'œil du cyclone".

4)b) Simplifier l'équation d'Euler.

4)c) En déduire et représenter la fonction p(r). Exprimer . Application numérique.

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3a | Réponse 3b | Réponse 3c | Réponse 4a | Réponse 4b | Réponse 4c |

Q) Etude de la houle

Dans un modèle bidimensionnel, la vitesse d'une "particule" fluide, de position (x, z) -position au repos - est de la forme :
en notation complexe.

La pression est de la forme .

Lorsque le fluide est au repos, la pression est donnée par

1) Ecrire les équations qui permettent de calculer
2) Résoudre ces équations pour le cas particulier (houle en eau profonde) dans l'approximation que l'on justifiera à partir des données numériques.
En déduire la célérité des ondes ainsi que la trajectoire d'une particule fluide à une altitude .

| Réponse 1 | Réponse 2 |

R) Oscillations d’un liquide dans un tube coudé

1) La pression et la vitesse à l’instant , en un point d’une ligne de courant repéré par son abscisse curviligne ( origine sur la ligne de courant de l’abscisse curviligne) sont liées par l’équation d’Euler.
Le champ de pesanteur est donné par , où est le vecteur unitaire de l’axe vertical ascendant et on désigne par la côte de .

1)a) Montrer que l’équation d’Euler peut être écrite :

1)b) Montrer que, pour un fluide incompressible dont l’écoulement est tel que soit indépendant de , la relation du 1)a) s’intègre sous la forme :

1)c) Montrer que l’équation 1)b) est bien adapté au mouvement d’un fluide incompressible dans un tube de faible section .

2)

L’origine de l’axe vertical ainsi que de l’origine de l’abscisse curviligne correspond est prise à la position d’équilibre.
Calculer la période des oscillations.

| Réponse 1a | Réponse 1b | Réponse 1c | Réponse 2 |

S) Turbine

| Réponse 1 | Réponse 2 |

T) Pompe

Une pompe à essence de rendement assure, en un temps , le remplissage d’un réservoir d’automobile d’une contenance . Elle aspire l’essence () dans une grande citerne dont la surface libre est à la pression atmosphérique .
Elle refoule l’essence sous forme d’un jet cylindrique, en contact avec l’atmosphère, se déversant dans le réservoir. La différence des cotes entre la section de sortie de la conduite et la surface libre de la citerne est . La conduite a une longueur et un diamètre .
La viscosité de l’essence est

Calculer la puissance de la pompe.

N.B. Le coefficient de perte de charge sera pris égal à si l’écoulement est laminaire, à si l’écoulement est turbulent.

| Réponse 1 |