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Largeur de raies : distribution gaussienne

Problème

On considère une lampe spectrale constituée d’un gaz porté à la température absolue T. Le gaz monoatomique est formé d’atomes de masse m et on admettra que la répartition des vitesses des atomes du gaz à l’équilibre est celle de la statistique de Maxwell-Boltzmann.

1) On appelle les trois composantes du vecteur vitesse d’un atome.
La probabilité pour qu’un atome ait une composante de vitesse à , les deux autres composantes étant quelconques, est égal à k est la constante de Boltzmann.
Calculer A (on rappelle que )

2) Pour un atome au repos, est la fréquence de la radiation émise dans une transition donnée.
Montrer que, pour un observateur fixe situé sur l’axe Ox, la fréquence devient c est la vitesse de la lumière dans le vide. Comment appelle t’on ce phénomène ?

3) Quelle est la probabilité pour que la radiation émise par un atome ait, pour l’observateur, une fréquence apparente égale à à près ?
En déduire, à une constante multiplicative près, l’intensité de la radiation mesurée par l’observateur en fonction de . Donner une représentation graphique.

4) On caractérise la largeur de la raie spectrale (dite " largeur Doppler ") par la largeur à mi-hauteur de la fonction intensité. Calculer en fonction de .
A.N.  ;  ;

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