Fibre optique

Fibre optique

Les illustrations et animations de Yves Cortial et Jacques Charrier
La fibre à saut d'indice
La fibre à gradient d'indice
La lentille boule

Problème

A) Généralités

1) Enoncer le principe de Fermat relatif au chemin optique d’un rayon lumineux.

2) Rappeler les lois de Descartes-Snell de la réfraction et de la réflexion.

3) Quand y a t’il réflexion totale à la surface de séparation de deux milieux transparents, homogènes et isotropes ?

4) Quelle est la définition d’un système stigmatique ?

B) Fibres à saut d’indice

Une fibre optique cylindrique, d’axe Oz, est constituée d’un cœur transparent homogène et isotrope, de rayon a, d’indice de réfraction , entouré d’une gaine, elle aussi transparente homogène et isotrope dont l’indice de réfraction est tel que .

B)1) Montrer que l’angle doit être supérieur à une valeur que l’on exprimera en fonction de et pour qu’il y ait réflexion totale.

B)2) En déduire que l’angle i à l’entrée de la fibre doit rester inférieur à une valeur que l’on exprimera en fonction de et (on considérera que l’indice de l’air est égal à 1).
Application numérique : calculer .

B)3) Calculer, en fonction de , le chemin optique correspondant à un angle d’incidence .
Montrer que la variation relative de chemin optique pour les rayons extrêmes se propageant à travers la fibre optique est égale à . Application numérique.
Que pensez-vous du stigmatisme de cette fibre ?

C) Fibres à gradient d’indice

Dans les fibres à gradient d’indice, l’indice du milieu transparent, isotrope diminue de façon continue de la valeur sur l’axe à la valeur suivant une loi où r représente la distance à l’axe.

On considère un rayon lumineux entrant dans la fibre optique par un point O situé dans l’axe optique.

C)1) Montrer que le rayon lumineux est contenu dans le plan radial formé par l’axe de la fibre et le rayon incident et que sa trajectoire obéit à la relation :
(on s’appuiera sur des lignes équi-indices définies par )

C)2) Montrer que le trajet du rayon lumineux dans la fibre obéit à l’équation différentielle :

[on montrera que ]

C)3)a) Montrer, à partir des valeurs numériques, que le terme peut être négligé dans l’équation différentielle précédente.

En déduire que la trajectoire du rayon lumineux obéit à l’équation différentielle et aux conditions aux limites et .

C)3)b) En déduire l’équation de la trajectoire du rayon lumineux :

C)3)c) Montrer que l’angle doit être supérieur à une valeur que l’on exprimera en fonction de et pour qu’il y ait propagation.
En déduire que l’angle i à l’entrée de la fibre doit rester inférieur à une valeur que l’on exprimera en fonction de et (on considérera que l’indice de l’air est égal à 1).
Application numérique : calculer .

C)3)d) Montrer que le rayon lumineux coupe l’axe Oz en des points régulièrement espacés ; déterminer la distance d séparant deux points consécutifs en fonction de .
Montrer que la variation relative de chemin optique pour les rayons extrêmes se propageant à travers la fibre optique est égale à . Application numérique.
Que pensez-vous du stigmatisme de cette fibre ?

C)3)e) Comparer, du point de vue de la possibilité de propagation d’une onde, fibre à saut d’indice et fibre à gradient d’indice.

C)3)f) La grande directivité d’un laser permet de donner à l’angle i des valeurs inférieures à . Quelle conclusion peut on en tirer ?

C)3)g) Citer un facteur, passé sous silence, qui limite la longueur des liaisons assurées par fibres optiques.

D) Couplage de deux fibres optiques

Pour coupler deux fibres optiques et , on utilise un système de deux lentilles-boules et identiques de diamètre et d’indice .

D)1) Etude d’une lentille-boule

On appelle C le centre de la lentille-boule. Un point objet A, situé sur l’axe optique forme une image à travers le premier dioptre sphérique ; cette image sert d’objet pour le deuxième dioptre sphérique et forme une image A’.
A partir des formules de conjugaison écrites à partir du centre C commun à chacun des dioptres sphériques, montrer que la lentille-boule est équivalente à une lentille mince située en C de distance focale image .
Voyez-vous des avantages à utiliser des lentille-boules plutôt que des lentilles minces ?

D)2)a) Calculer la distance e entre les centres des deux lentille-boules pour que le système constitué de ces deux lentilles soit afocal. Application numérique.

D)2)b) la condition ci-dessus étant réalisée, on place un objet dans le plan de sortie de la première fibre, ce plan étant confondu avec le plan focal objet de la première lentille boule.
Le plan d’entrée de la deuxième fibre est confondu avec le plan focal image de la deuxième lentille-boule.
A partir de la construction de rayons lumineux, montrer que l’image se forme dans le plan ; calculer le grandissement .