Ondes électromagnétiques non planes (approximation ondes planes ; vitesse de phase et de groupe ; propagation de l'énergie et de l'enveloppe des amplitudes)
Problème
Entre deux plateaux métalliques parfaits, occupant les plans , se propage suivant une onde électromagnétique () monochromatique, de pulsation , dont les composantes suivant les axes du référentiel direct orthonormé sont :
et
1) Montrer que l'onde électromagnétique proposée vérifie les équations de Maxwell si et si se calculent en fonction de .
2)a) Etablir la relation
et calculer la pulsation de coupure
de l'onde en fonction de a et c (célérité
de l'onde dans le vide). Quelle relation doivent vérifier la distance
a entre les plaques et la longueur d'onde pour retrouver la structure
de l'onde plane monochromatique ?
2)b) Exprimer la vitesse de phase
ainsi que la vitesse de groupe
du milieu vide intra conducteur.
3)a) Exprimer, en fonction de (perméabilité
du vide), la puissance moyenne
qui traverse un plan de section
entre les plateaux de largeur l dans la direction Ox.
3)b) Exprimer l'énergie électromagnétique volumique
entre les plateaux
; en déduire sa valeur moyenne
dans le temps, puis sa valeur moyenne
sur la section droite d'abscisse ,
que l'on exprimera en fonction de (permittivité
du vide).
3)c) En déduire la vitesse de propagation V de l'énergie
électromagnétique dans ce guide en fonction de ;
comparer avec la vitesse de groupe
et conclure.
4) On considère l'onde (qui
résulte de la superposition de l'onde ()
précédente de pulsation et
d'une onde ()
de même type, de même direction de propagation
et de même amplitude, mais de pulsation voisine .
Montrer que le champ résultant
est une onde sinusoïdale de même phase que l'onde ()
mais modulée en amplitude par une enveloppe sinusoïdale et progressive
qui se propage suivant
à une vitesse V' qu'on exprimera en fonction de la vitesse de
groupe ; conclure.
5) Exprimer la vitesse de groupe d'une onde en fonction de (vitesse de phase), et (module du vecteur d'onde).
| Réponse 1 | Réponse 2a | Réponse 2b | Réponse 3a | Réponse 3b | Réponse 3c | Réponse 4 | Réponse 5 |