Les équations de Maxwell

Plan

1. Introduction
1.1. Rappel des lois de base en électricité
1.2. La conservation de la charge
1.3. Equation de Maxwell - Ampère
2. Les équations de Maxwell
3. Cas des conducteurs

1. Introduction

1.1. Rappel des lois de base en électricité

• L'étude de l'électrostatique nous a permis d'établir la relation  où l'induction électrique est égale à .

est le champ électrique et  le vecteur polarisation.
Ces relations sont vraies dans un diélectrique et dans un conducteur.
Pour un conducteur en équilibre électrostatique ou en électrocinétique des courants continus, la polarisation  est nulle et la densité volumique de charges  est nulle. Nous avons vu que la loi d’Ohm pouvait être étendue à des régimes variables et ceci amène à envisager, pour les conducteurs, l’extension de ces relations à des régimes variables.
En ce qui concerne les diélectriques, il convient de s’interroger sur ce que devient la polarisation en présence d’un champ électrique variable. Pour des champs lentement variables (basses fréquences), l’inertie mécanique de la matière ne sera pas sensible et la polarisation sera identique. A hautes fréquences, la polarisation de molécules non polaires ou la polarisation par orientation aura du mal à se réaliser à cause de cette inertie et la capacité de polarisation du milieu sera diminué. Le vecteur polarisation dépendra du temps (la permittivité électrique dépendra de la fréquence) ce qui ne change pas (mis à part les temps de propagation) le raisonnement fait pour introduire le vecteur induction.
Ainsi, sauf infirmation expérimentale, on peut envisager ces relations pour des régimes variables.

• L'étude de la magnétostatique nous a permis d'établir les relations  et où l'excitation (appelé aussi champ) magnétique est égale à 

est le champ (ou induction) magnétique,  le vecteur aimantation et  le vecteur densité de courant.
Là encore, sauf infirmation expérimentale, on peut envisager ces relations pour des régimes variables.

• L'étude du phénomène d'induction nous a conduit à la relation 

Ces relations permettent d'introduire un potentiel vecteur  et un potentiel scalaire V.
En effet  ð
Le report de cette dernière relation dans ð
Rappelons que le potentiel vecteur et le potentiel scalaire ne sont pas définis de manière unique, à un gradient additif près pour le premier et à une constante additive près pour le second.

Un volume , délimité par une surface , contient une charge . Le vecteur unitaire normal est orienté vers l'extérieur au volume. On rappelle qu'à chaque particule est attaché une charge multiple entier de la charge élémentaire. Le flux d'électricité qui sort du volume s'écrit

La conservation de la charge (des particules) s'écrit : 
L'application du théorème d'Ostrogradsky conduit à l'expression locale de conservation de la charge 

1.3. Equation de Maxwell-Ampère
Il y a incompatibilité entre l'équation de conservation de la charge et le théorème d'Ampère  qui conduit à .
Renoncer à la conservation de la charge c'est renoncer à la conservation des particules ou renoncer à la notion de charge élémentaire indépendante de tout référentiel.
Maxwell a proposé de modifier le théorème d'Ampère sous la forme .
Cette expression est compatible avec la conservation de la charge, le terme  est appelé courant de déplacement.
Si nous voulons nous persuader de sa nécessité sur un exemple simple. Considérons, en régime variable, un circuit électrique avec un condensateur. Dans les fils conducteurs, le courant est du à un mouvement de charges. Entre les armatures, le mouvement de charges n'est plus possible, sans le courant de déplacement il n'y aurait pas possibilité de circuit électrique comprenant des condensateurs.

2. Les équations de Maxwell
 

Equation de Maxwell-Gauss  Equation de conservation du flux de  Equation de Maxwell-Faraday (phénomène d'induction) Equation de Maxwell-Ampère

Les équations de Maxwell régissent les phénomènes électriques

Remarques :
- comme toute théorie en Physique, ces équations ne sont validées que par les expériences,
- les équations  et  restent valables,
- la relation de jauge de Coulomb n’est valable que pour les régimes permanents ; pour les régimes variables, elle sera modifié en relation de jauge de Lorentz (voir théorie des ondes électromagnétiques).

Conditions de passage à la surface de séparation de deux milieux
 

Les points A et B sont dans le milieu 1, les points C et D dans le milieu 2. Dans les raisonnements, on fera tendre A et D d'une part, B et C d'autre part l'un vers l'autre.   puisque la surface  tend vers 0.  soit

• 

soit  où est le courant surfacique.

• Nous envisageons le parallélogramme de base ABCD de profondeur h ; Nous appelons  qui tend vers 0 si A et D, B et C tendent l'un vers l'autre.

soit 

• 

soit  où est la densité superficielle de charge.
A ces équations, il convient d'ajouter la continuité du potentiel.

• Nous nous situons dans des domaines de fréquence où la loi d'Ohm est applicable.

(),  et  ððen supposant qu'au temps , lors de l'application du champ électrique , la densité volumique de charge puisse devenir différente de 0.
Pour le cuivre,  temps d'établissement du régime.
Ainsi la densité volumique de charge redevient nulle dans des temps beaucoup plus courts que les temps d'établissement des régimes dans le cadre de la loi d'Ohm.

• On appelle conducteur parfait le cas limite où la conductivité  est infinie.

Le champ électrique ne peut être que nul sinon la puissance dissipée par effet Joule serait infinie.
Ceci veut dire qu'on ne peut imposer un champ électrique à l'intérieur d'un matériau de conductivité infinie. Instantanément, il retrouve un équilibre électrostatique. En conséquence le champ magnétique sera lui aussi nul.