Table des matières
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La matière en présence d'un champ électrique

Plan

1. Les milieux diélectriques
1.1. Les différents types de polarisation
1.2. Dipôle électrique
1.3. Potentiel électrique créé par un diélectrique polarisé
1.4. Théorème de Gauss
1.5. Energie électrique
2. Les conducteurs
2.1. Le conducteur en équilibre électrostatique
2.2. Le conducteur en électrocinétique
Exercices
Annexe : La théorie des bandes d'énergie (isolants, semi-conducteurs, conducteurs)
 

La matière soumise à un champ électrique réagit. Nous distinguons deux types de matière :
- les diélectriques qui sont des isolants électriques, c'est à dire des milieux dans lesquels il n'existe pas de charges électriques libres et mobiles,
- les conducteurs qui sont des milieux pour lesquels il existe des charges électriques libres et mobiles.

La création d’un champ électrique en une région de l’espace est envisageable comme résultat de l’action de charges électriques (voir loi de Coulomb). En fait, les champs électriques permanents sont créés à partir de systèmes appelés piles électriques dont l’étude relève des cours de Thermochimie.

La frontière entre comportement diélectrique ou conducteur n'est pas absolue, la matière pouvant être plus ou moins conductrice, plus ou moins diélectrique. Les théories de la Physique classique, qui sont abordées ici, s’avèrent très vite insuffisantes, les théories quantiques et statistiques sont indispensables pour expliquer les comportements isolants, semi-conducteurs et conducteurs de la matière.

Le lecteur trouvera en annexe, à la fin du chapitre, des éléments sur la théorie des bandes d’énergie.
 

1. Les milieux diélectriques

1.1. Les différents types de polarisation

1.1.1. Polarisation électronique des atomes et des ions

Sous l'action d'un champ électrique extérieur, les charges positives et négatives se déplacent par rapport à leurs positions d'équilibre, il y a distorsion de la fonction d’onde électronique et création pour l’atome ou l’ion d’un dipôle.
Les couches électroniques des alcalins se déforment facilement et leur polarisation électronique est élevée, à l’inverse les gaz rares ont une faible polarisation.
La théorie dite de " l’électron élastiquement lié " donne des résultats intéressants.
Les électrons d’un ion positif étant plus fortement liés que ceux de l’atome de même nombre d’électrons, leur polarisation électronique est plus faible ; c’est l’inverse qui se produit pour un ion négatif.

1.1.2. Polarisation des molécules

Molécules non polaires

En l’absence de champ électrique extérieur, certaines molécules ne possèdent pas de moment dipolaire et sont appelées non polaires. Il suffit pour cela qu’elles possèdent un centre de symétrie : c’est le cas des molécules diatomiques constituées d’atomes identiques, des molécules linéaires telles que , à symétrie tétragonale comme  et  ou benzénique comme .
L’application d’un champ électrique extérieur provoque :
- comme dans les atomes, une distorsion du nuage électronique et une polarisation électronique,
- une modification de la position des noyaux à l’intérieur de la molécule et une polarisation dite atomique.
La polarisation atomique est de l’ordre de 10% de la polarisation électronique.

Molécules polaires

Ces molécules possèdent un moment dipolaire permanent.
Le champ électrique extérieur, outre la polarisation électronique et atomique, provoque une orientation, par interaction, des dipôles dans la direction du champ. Cette polarisation est appelée polarisation d’orientation. Elle dépend très fortement de la température comme le montre une théorie faisant intervenir le facteur de Boltzmann et la fonction de Langevin.

1.1.3. Piézoélectricité. Pyroélectricité. Ferroélectricité

On désigne par piézoélectricité la propriété de certains cristaux de modifier (ou d’acquérir) une polarisation sous l’effet d’efforts mécaniques, tels que compression ou tractions.
Cette propriété trouve des applications sous forme d’allume-gaz ou briquets piézoélectriques, de transducteurs dans les " têtes de pick-up ", de générateurs ou de récepteurs d’ultrasons, de " résonateurs " de faible amortissement, utilisés pour produire des oscillations de fréquences très stables.
Seuls les cristaux qui ne possèdent pas de centre de symétrie peuvent être piézoélectriques.
Parmi les 20 classes de cristaux piézoélectriques, 10 peuvent présenter une polarisation spontanée le long d’un axe privilégié. C’est le phénomène de pyroélectricité.
Parmi ces derniers, le sous-groupe des ferroélectriques présente la particularité de garder une polarisation permanente, c'est à dire d’avoir une polarisation qui ne cesse pas à la suppression du champ extérieur. Cette propriété de polarisation forte est utilisée dans les condensateurs de grande capacité à faible encombrement.

1.2. Dipôle électrique

On appelle dipôle électrique l’ensemble de deux charges " voisines "  placées en A et B. Le moment dipolaire est défini par le vecteur 

1.2.1. Potentiel et champ électriques créés à grande distance
 
On pose 

Ainsi, 

et 

1.2.2. Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle

Soit le champ électrique extérieur. La charge positive q est située en B de coordonnées (, la charge négative –q est en A de coordonnées (.

En remarquant que , on obtient

On trouve des relations identiques suivant les autres directions.

Système de forces s’exerçant sur le dipôle :

Résultanteð

Compte tenu de relations identiques suivant les autres directions, 
La résultante des forces s’exerçant sur un dipôle est nulle dans un champ électrique extérieur uniforme.
L’énergie d’interaction d’un dipôle dans un champ électrique extérieur est donc 

Moment résultant

1.3. Potentiel électrique créé par un diélectrique polarisé. Distribution équivalente de charges.
On introduit le vecteur polarisation par la relation  où  est le moment dipolaire de l'élément de volume du diélectrique de volume  délimité par la surface fermée S.
Soient A un point quelconque du diélectrique et M un point extérieur au diélectrique.
où 
Cette formule est d’un emploi simple si le vecteur polarisation est uniforme, on retrouve alors le calcul de champs électrostatiques pour une densité volumique de charge unité.
Dans le cas général, on remarque que et on utilise la relation d’analyse vectorielle

Soit,  où  est le vecteur unitaire normal, en chaque point, à la surface fermée S, orientée vers l’extérieur.
On constate que le potentiel créé par la polarisation est identique à celui d’une distribution de charges de densité volumique  et de densité surfacique .

1.4. Théorème de Gauss

En dehors du diélectrique, le théorème de Gauss est inchangé. Dans le diélectrique, il doit être réécrit en introduisant la distribution équivalente de charges rendant compte de la polarisation.
ð

On obtient  où  est appelée induction électrique.

L'équation connue sous le nom d’équation de Maxwell-Gaussest l'une des quatre équations de Maxwell.

On conçoit que la polarisation est d'autant plus forte que le milieu est dense et que le champ extérieur est fort.
Pour de nombreux matériaux et pour les champs électriques pas trop intenses couramment utilisés, on peut écrire avec une bonne approximation  où  est appelée susceptibilité diélectrique du milieu considéré.
Ces diélectriques sont dits linéaires, homogènes, isotropes (lhi). Sauf avis contraire, on se place dans cette hypothèse.
Alors .
est la permittivité diélectrique absolue et  la permittivité diélectrique relative (par rapport au vide).

1.5. Energie électrique

L'énergie potentielle (d'origine électrique) d'une charge q à potentiel V est .
Pour une distribution volumique de charges de densité , le problème est plus complexe car la densité de charges et le potentiel sont proportionnels (en effet ð, soit en appelant q la charge de la distribution volumique à potentiel V).
Soit une distribution volumique de charge q', de potentiel V'. La charge varie de dq' , l'énergie potentielle varie de  et le potentiel de .
Aussi l'énergie potentielle d'une distribution de charges q à potentiel V sera :

Pour une distribution volumique de densité contenu dans un volume, on obtient ce résultat important  puisque  en dehors du diélectrique

Cette relation peut être écrite : .

L'application de l'identité , le théorème d'Ostrogradsky et la relationconduisent à :
.
Si nous prenons la deuxième expression où l’intégration est faite sur tout l’espace (c’est à dire à des distances infinies du diélectrique), la dimension de S varie en , l’intensité de  varie en  et celle de V en .

Ainsi  si bien que 
La densité volumique d'énergie électrique est égal à :  soit  pour un milieu linéaire, homogène, isotrope.

2. Les conducteurs

Il existe quatre types de conducteurs électriques :

Par simplification, les solides métalliques, qui seuls font l'objet de ce cours, sont nommés conducteurs sans autre précision. L'espace entre les conducteurs est occupé par des milieux non conducteurs c'est à dire non susceptibles de mouvements de charges (vide, gaz de molécules, diélectriques).

2.1. Le conducteur en équilibre électrostatique
 
On place un conducteur dans une région d'espace où règne un champ électrique.
Les charges libres (électrons de charges négatives) du conducteur, sous l'effet du champ, se déplacent jusqu'à atteindre des extrémités du conducteur, par défaut dans d'autres extrémités il y aura des charges positives. Le déséquilibre des charges va induire un champ électrique qui s'oppose au champ électrique qui régnait en l'absence du conducteur.
Le mouvement des charges cessera (un équilibre électrostatique s'établira) lorsque les deux champs s'opposeront en tout point intérieur du conducteur.

Le champ électrique, à l'équilibre électrostatique, sera nul en tout point intérieur du conducteur.
Par application de , on déduit que le potentiel est constant à l'intérieur du conducteur.
Par application de , on déduit que la densité volumique de charges est nulle. La distribution de charges est surfacique et on appelle  la densité superficielle de charges.
A l'extérieur immédiat du conducteur, le champ à la direction de la normale à la surface, seules les charges infiniment proches étant influantes.
L'application du théorème de Gauss sur la surface fermée représentée conduit à :  où est le champ électrostatique extérieur au voisinage du conducteur,  la densité superficielle de charges à l'endroit considéré, la permittivité diélectrique du milieu extérieur et  le vecteur unitaire normal orienté vers l'extérieur du conducteur.
Sur la surface, le champ est égal à . Il y a donc une discontinuité du champ à la traversée de la surface chargée (ceci est vrai même si le matériau n'est pas conducteur ð voir équations de Maxwell).
Par contre, il n'y a jamais de discontinuité de la fonction potentiel V : ceci se démontre à partir du théorème de Stokes et de la propriété  qui entraîne la continuité de la composante tangentielle du champ.
La charge Q répartie à la surface d'un conducteur se calcule à partir de :
S est la surface du conducteur.
On remarquera la proportionnalité entre Q et V. Par suite C est la capacité du conducteur qui ne dépend que de la forme du conducteur et de la permittivité du milieu extérieur. La capacité C est positive puisque les lignes de champ (ligne tangente en chaque point au champ) s'éloignent du conducteur lorsque sa surface est chargé positivement.

2.1.1. Ensemble de conducteurs en équilibre électrostatique
 
Nous considérons un ensemble de n conduc-teurs en équilibre électrostatique aux poten-tiels  porteurs de charges .

On appelle tube de champ un ensemble de lignes de champ s'appuyant sur une surface ouverte.
Considérons le tube de champ (figure ci-contre).

Il détermine sur les surfaces des conducteurs i et j, deux éléments de surface appelés éléments correspondants. Ces éléments correspondants sont porteurs de deux charges notées q et q'.
Le tube de courant et deux surfaces intérieures à chacun des conducteurs i et j constituent une sur face fermée . L'application du théorème de Gauss donne  et donc . Ceci constitue le théorème des éléments correspondants, on dit qu'il y a influence entre conducteurs.

2.1.2. Energie

Pour " porter " une charge  sur un conducteur à potentiel , l'opérateur extérieure doit fournir une énergie acquise sous forme d'énergie potentielle électrique. Le potentiel électrique varie de  tel que .
Pour un conducteur à potentiel V, l'énergie potentielle électrostatique sera :

Pour n conducteurs 

2.1.3. Condensateurs
 
Un condensateur est constitué de deux conducteurs, l'un extérieur appelé 2 à potentiel  entourant celui intérieur appelé 1 à potentiel .
Les charges sont réparties sur les surfaces des conducteurs comme indiqué sur la figure.

L'application du théorème de Gauss sur une surface fermée intérieure au conducteur 1 conduit à ce qui veut dire que ce conducteur peut être plein ou creux.
L'application du théorème de Gauss sur une surface fermée intérieure au conducteur 2 conduit à . Nous posons .
L'application du théorème de Gauss sur une surface fermée entourant le conducteur 2 conduit à . Vis à vis de l'extérieur, tout se passe comme si le conducteur 2 était plein.

Soit le cas particulier  et , le champ à l'extérieur du conducteur 2 est nul ð. Par suite,  et  ce qui démontre que C est appelée la capacité du condensateur.

En remplaçant on obtient relation du condensateur et 

L'énergie s'obtient par application de la formule pour un ensemble de conducteurs soit .

L'énergie du condensateur est  partie récupérable de l'énergie lorsque l'on décharge le condensateur c'est à dire lorsque l'on porte les deux conducteurs au même potentiel .
Dans la pratique on relie le conducteur extérieur à la " terre " () pour éviter les décharges involontaires.

Le calcul des capacités des condensateurs plan, cylindrique à symétrie de révolution, sphérique à symétrie sphérique, le calcul de la capacité d'un conducteur sphérique constituent des exercices incontournables.

Formule générale de la capacité d'un condensateur

suivant une ligne de champ
ð

2.2. Le conducteur en électrocinétique

2.2.1. Loi d'Ohm
 
Aux extrémités d'un conducteur, on entretient par l'intermédiaire d'un générateur une différence de potentiel continue.
Le champ électrique va provoquer le mouvement dans une direction des charges libres (électrons). Le mouvement des électrons est gêné par les chocs qu'ils subissent sur les ions fixes du métal.
Avant la création du champ électrique, les électrons avaient un mouvement du à l'agitation thermique.

En moyenne, à un instant donné quelconque, leur vecteur vitesse était nul.
Le principe fondamental de la dynamique pour un électron permet d'écrire :
où le terme appelé " force de relaxation " traduit la gène due aux chocs contre les ions (nous l'avons supposé proportionnel au vecteur vitesse).
La solution de cette équation différentielle donne . Nous avons considéré qu'à l'instant initial le vecteur vitesse était nul (en fait, il s'agit d'un vecteur vitesse moyen pour l'ensemble des électrons).
A partir d'un temps , la vitesse limite  est atteinte à mieux que 1%.
est la constante de temps, elle caractérise le temps d’établissement du régime.

Une autre façon de raisonner considère que, juste après un choc, en moyenne le vecteur vitesse est nul et que l'électron subit la force électrique pendant la durée  entre deux chocs.
Il atteint, au moment du choc suivant, une vitesse .

La vitesse moyenne de déplacement des électrons est égal à
Ce deuxième raisonnement donne une interprétation physique intéressante de , liée à la durée entre deux chocs donc au libre parcours moyen et à la vitesse d’agitation thermique des électrons libres du métal.

Cette interprétation nous permet d’admettre que le temps d'établissement du régime est très faible, c'est à dire que la relation  est vraie à chaque instant. Nous pouvons généraliser cette relation à des champs variables où les temps caractéristiques de variation (période par exemple) seraient très supérieures à la constante de temps.
L'intensité du courant électrique est définie comme la quantité d'électricité qui traverse par unité de temps une section S du conducteur.
où  est le vecteur densité de courant.

n est le nombre d'électrons libres par unité de volume du métal,est appelé la conductivité et l'inverse la résistivité.
La relation  constitue l'expression locale de la très importante loi d'Ohm.

Remarques :

Expression intégrale de la loi d'Ohm

Soit un conducteur délimité par deux surfaces équipotentielles  à potentiel .
On appelle ligne de courant le " trajet " suivi par les charges.
suivant une ligne de courant, 
ð

R est appelée résistance électrique
Cette relation constitue l'expression intégrale de la très importante loi d'Ohm.

Remarque
Il y a ressemblance des formules entre la capacité d'un condensateur et la résistance d'un conducteur. L'analogie est plus complète si on remarque, qu'en électrostatique pour un diélectrique et en électrocinétique pour un conducteur, la fonction potentiel obéit à .
Nous admettons (ce qui semble évident pour un mouvement continu de charges mobiles et sera montré dans le chapitre sur les équations de Maxwell chaque fois que la loi d'Ohm est applicable) que la densité volumique de l'ensemble de toutes les charges d'un conducteur est nulle.
Pour un diélectrique et un conducteur de même forme, les équipotentielles donc les lignes de champ et les lignes de courant sont identiques et 

2.2.2. Energie (effet Joule)

Considérons un électron sur une ligne de courant, son sens est celui des potentiels croissants puisque sa charge est négative.
Sa variation d'énergie potentielle électrique lorsqu'il passe d'un point M en un point M' infiniment voisin est égale à :
puisque 
L'électron a perdu de l'énergie électrique, elle n'est pas devenue cinétique puisque le vecteur vitesse est constant sauf à l'établissement du régime.
Cette énergie est devenue de l'énergie interne lors des chocs sur les ions (augmentation de leur agitation thermique, donc de la température qui peut se stabiliser si le conducteur échange de la chaleur avec l'extérieur).
Le nombre d'électron à vitesse  traversant un élément de surface  par unité de temps est égal à .

La perte d'énergie électrique est  (le signe – introduit est conventionnel : il compte positivement la perte d’énergie électrique, c’est à dire le gain d’énergie d’une autre forme).
Ce phénomène est connu sous le nom d'effet Joule.
L'expression locale de la puissance volumique dissipée par effet joule s'écrit donc  .
L'expression intégrale pour le conducteur conduit à une puissance  dissipée par effet Joule égale à 

2.2.3. Validité de la loi d'Ohm à hautes fréquences

La mesure de la conductivité permet de connaître la valeur de la constante de temps, compte tenu du modèle proposé. Ainsi pour le cuivre de masse molaire égale à 63,6 g, de masse volumique , de conductivité égale à , qui dans la liaison métallique libère un électron par atome, on trouve .

On conçoit alors que la loi d’Ohm soit valable jusqu'à des fréquences atteignant  ce que l’on écrit sous la forme  ou 
La vitesse des électrons est intéressante à connaître : elle est pour un conducteur en cuivre de de section, parcouru pat un courant de 1 A, de .

Exercices

Diélectrique
En coordonnées sphériques avec symétrie de révolution autour d’un axe,  s’écrit :


1) Montrer en cherchant pour  des solutions sous la forme  que 

2) Appliquer cette démarche :

Annexe : Théorie des bandes d’énergie (isolants, semi-conducteurs et conducteurs)

En mécanique quantique (le lecteur pourra se contenter de généraliser le calcul préquantique de " l’atome de Bohr "), on apprend que les énergies possibles, pour tout système, forment un spectre discret et qu’à un niveau d’énergie possible , il correspond plusieurs états quantiques (sous-états correspondant à une même énergie appelés dégénérescence, la variable  traduit le nombre de dégénérescence).
Ces propos sont applicables aux électrons d’un atome (voir cours d’atomistique) en y ajoutant le Principe d’exclusion de Pauli à savoir il ne peut y avoir plus d’un électron par sous-état quantique.
Imaginons une chaîne de N atomes identiques initialement éloignées les uns des autres : ils vont, lors de la constitution du cristal, interagir entre eux ce qui va entraîner une modification des niveaux d’énergie pour les électrons. Ceci est une conséquence du Principe d’exclusion de Pauli, chaque niveau d’énergie va se scinder en N niveaux discrets afin que ne corresponde pas la même énergie à deux mêmes sous-états quantiques.
Ainsi, autour d’un niveau d’énergie initiale, se forment N niveaux d’énergie voisins. Ces niveaux d’énergie sont, souvent, si proches les uns des autres que l’on pourra parler de continuum d’énergie (spectre continu d’énergie) autour de l’énergie initiale c’est à dire dans un intervalle (bande) d’énergie.

Les électrons ne peuvent avoir accès aux niveaux d’énergie entre les bandes. On dit que les niveaux d’énergie dans les bandes sont permis ou possibles tandis que les niveaux d’énergie entre les bandes ne sont pas permis ou interdits.

Le lecteur qui aurait quelques difficultés avec la " multiplication " des niveaux d ‘énergie autour d’un niveau d’énergie fera une similitude avec les systèmes couplés : le couplage de deux systèmes de même fréquence de résonance crée deux fréquences de résonance (fréquences propres) situées de part et d’autre de la fréquence de résonance initiale, le couplage de trois systèmes …

En Physique statistique, on apprend que le nombre  de particules (ici électrons), par niveau d’énergie , est égal à  où  est la fonction de partition et  la probabilité pour une particule d’occuper un état quantique de niveau d’énergie  .

Dans le cas d’un continuum d’énergie, on écrira  avec  est le nombre de particules dans l’intervalle d’énergie .

Les électrons obéissent à la statistique de Fermi-Dirac et  où  est le niveau d’énergie de Fermi.
 
Pour  si  et  si .
 
 
 

Pour , les résultats précédents sont affectés dans une zone de largeur égale à au maximum quelque fois  autour de  (pour ). 

Comportement isolant, semi-conducteur, conducteur d’un matériau

Au zéro absolu
 


L’étude de la fonction  montrent que les bandes permissent se remplissent à partir des énergies les plus faibles, celles dont l’interaction avec les noyaux sont les plus fortes.
Toutes les bandes permises qui ont des énergies inférieures à celles de Fermi sont entièrement remplies par les électrons (on appelle bande de valence, la bande pleine dont les énergies sont les plus élevées parce qu’elle contient des électrons des couches externes des atomes dits électrons de valence). Pour des énergies supérieures à celles de Fermi, il n’y a pas d’occupation par des électrons. Si le niveau d’énergie de Fermi est dans une bande, celle-ci, incomplètement remplie (ou pas totalement vide) est une bande de conduction.

L’application d’un champ électrique ne permet pas (pas assez d’énergie) à un électron de changer de bande d’énergie et, par exemple de passer d’une bande entièrement pleine à une bande totalement vide. Par contre, à l’intérieur d’une bande, l’électron peut changer de niveau d’énergie.
Une bande pleine (de valence) ne peut être l’objet d’un courant électrique puisque l’électron qui changerait de niveau ne pourrait que déloger un autre électron qui viendrait à sa place.
Par contre dans une bande non pleine (bande de conduction), un électron peut se déplacer sur un niveau d’énergie non occupé.

Imaginons une bande de conduction où il y ait une seule place libre, la Nième par ordre croissant d’énergie. Les N-1 électrons peuvent se déplacer en utilisant cette énergie libre et la courant électrique créés sera  si  est la vitesse.

S’il y avait un Nième électron, le courant serait nul, soit  que l’on peut écrire  :

la conduction électrique résultant des mouvements des N-1 électrons est équivalente à celle d’une particule, appelée trou, de charge +e, de vitesse égale à celle de l’électron manquant.
 


Si  est situé entre deux bandes permises, les bandes d’énergie sont entièrement occupées ou vides, il ne peut y avoir de courant électrique.

A une température absolue non nulle

Par rapport au zéro absolu, la différence de comportement provient essentiellement de la modification de f(e) avec la température.
 


Le comportement conducteur ne change pas par rapport à ce qui se passe à 
 
Si l’écart  , appelé gap d’énergie, différence entre l’énergie la plus faible de la bande de conduction et l’énergie la plus forte de la bande de valence, est suffisamment important (5 eV), aucun électron de la bande de valence ne peut, par énergie thermique, passer dans la bande de conduction (initialement vide) et le matériau reste isolant.
 
Si l’écart  est de l’ordre de 1 eV, quelques (peu) électrons de la bande de valence, par énergie thermique, passent dans la bande de conduction (initialement vide). Sous l’effet d’un champ électrique, un courant se produit résultat des mouvements des quelques électrons venus dans la bande de conduction et, par défaut, d’un nombre égal de trous qui se sont produits, dans la bande de valence, suite au départ d’électrons. Le nombre de charges en mouvement reste faible et le matériau est dit semi-conducteur.

Parmi les matériaux semi-conducteurs, on trouve les minéraux :
- Silicium ou Germanium (colonne IV de la classification de Mendeleïev
- des composés des colonnes III-V tels que arséniure de gallium (GaAs)
- des composés ternaires des colonnes II-VI
On trouve aussi des semi-conducteurs organiques tels que l’anthracène (), le naphtalène () , le coronène (), les cristaux liquides utilisés comme afficheurs qui sont des mol écules à noyaux benzéniques et des matériaux amorphes tels les verres.

Il est possible d’augmenter le nombre d’électrons de la bande de conduction par dopage de type n (introduction d’impuretés d’un élément pentavalent tel que phosphore (P), arsenic (As) ou antimoine (Sb) ou d’augmenter le nombre de trous de la bande de valence par dopage de type p (introduction d’impuretés d’un élément trivalent tel que le bore (B), le gallium (Ga) ou l’aluminium (Al).
 

Dans ce cas, le gap est inférieur à 1 eV, et il peut y avoir un léger recouvrement entre la bande de valence et la bande de conduction si bien qu’il existe quelques trous dans la bande de valence et quelques électrons dans la bande de conduction. Le niveau de Fermi (commun aux deux bandes) étant dans la zone de conduction, comme dans un métal, on parle de semi-métal. On peut citer bismuth, l’arsenic, l’antimoine ou l’étain.

Problème

1) Pour un électron d'un cristal, la probabilité  d’occupation d'un niveau d'énergie  est donnée par :  où , potentiel chimique, est appelé niveau de Fermi.
Etudier cette fonction pour différentes valeurs de  à partir de  (on pourra poser ). Conclusion sur la façon de remplir les différents niveaux d'énergie.

2) Pour un semi-conducteur la concentration (nombre par unité de volume) en électrons dans la bande de conduction est donnée par :  où , celle en trous est donnée par :  où 
2)a)Que représentent  ?
2)b) Pour le fonctionnement intrinsèque d'un semi-conducteur, la neutralité électrique impose , en déduire la valeur de  ainsi que celle de  en fonction des données.

AN : Pour le Silicium, ; calculer  et . Montrer que  varie peu avec la température.

3) Dans une situation plus générale, le semi-conducteur dopé contient à la fois des atomes donneurs et accepteurs en concentrations respectives .
A une température quelconque, seule une fraction de ces atomes est ionisée, soient  les concentrations des ions ainsi formés
3)a) Ecrire l’équation de neutralité électrique et montrer que .
3)b) Dans le cas où tous les atomes d’impuretés sont ionisés, calculer  dans le cas d’un dopage de type n ou d’un dosage de type p (pour les dosages usuels, on envisagera  et ).

4) Un semi-conducteur est dopé à l'aide d'atomes donneurs en concentration . A la température , supposée constante et de l'ordre de l'ambiante, on a . La densité d'atomes donneurs non ionisés vaut :  ( est l'énergie du niveau donneur ; ).
4)a) Déterminer l'expression de la concentration  d'atomes donneurs ionisés
4)b) On étudie le comportement de  en fonction de , lorsque le niveau de Fermi se déplace dans la bande interdite. Examiner les deux cas limites pour lesquels .
4)c) Représenter sur un même graphique, en fonction de 
Commenter les différentes situations que l'on peut rencontrer.