Structure de la matière : chaîne d’atomes monodimensionnelle
Problème
On se propose d’étudier quelques propriétés physiques des cristaux monoatomiques.
Au niveau microscopique, on utilise le modèle simplifié de la chaîne d’atomes monodimensionnelle. On appelle m la masse de l’atome, a la distance entre deux atomes successifs lorsque ceux-ci sont en équilibre ; l’interaction entre deux atomes successifs schématisée par des " ressorts " est traduite par une énergie d’interaction de type potentielle
Au niveau macroscopique, le cristal est un milieu continu de section S, de longueur L, de masse volumique .
1) Etude statique
1)1) Ecrire pour chacun des modèles la masse par unité de
longueur et en déduire que .
1)2 L’extrémité de gauche étant
fixée dans chacun des modèles, on exerce sur l’extrémité
de droite une force d’étirement d’intensité F.
1)2)a) On admet que chacun des ressorts est allongé d’une même
quantité notée u si le poids de chaque atome est négligeable
devant les forces d'interaction qui s'exercent entre deux atomes successifs.
A partir d’un développement limité de l’énergie d’interaction
, montrer qu’en première
approximation .
Comment appelle t’on ce type de force.
1)2)b) Au niveau macroscopique, la loi de Hooke
exprime l’allongement
du modèle (E est appelé le module de Young).
Dans le système SI, quelle est l’unité du module de Young ?
Montrer que ;
en déduire la relation .
Application numérique : calculer
pour , ,
et .
| Réponse 11 | Réponse 12a | Réponse 12b |
2) Etude dynamique
Lorsque la chaîne est en mouve-ment longitudinal,
chaque atome est repéré par son déplacement ,
par rapport à sa position au repos
où n entier repère le nième
atome de la chaîne. |
|
2)1) Montrer que l’équation du mouvement pour
les atomes de la chaîne s’écrit :
2)2)a) On cherche une solution sous forme d’onde progressive
où
représente l’élongation, au temps t que prendrait une onde
d’amplitude , de
pulsation et de
vecteur d’onde ,
aux points où
se trouvent les masses dans la chaîne au repos.
Montrer que cette solution est possible ()
si .
2)2)b) Représenter la courbe .
Montrer que le mouvement des atomes est inchangé si
(p entier positif) ; Conclusion.
Montrer que, pour les grandes longueurs d’onde, .
Que se passe t’il pour des pulsations ?
2)2)c) Pour les grandes longueurs d’onde ( ;
on donnera un ordre de grandeur à ),
on peut considérer que le cristal est un milieu continu (modèle
macroscopique) et on définit une fonction telle
que
A partir d’un développement de Taylor, montrer que :
En déduire l’équation aux dérivés partielles
Quelle est la signification physique de cette équation ? Que représente
la quantité ?
2)3) La vibration longitudinale est traitée dans le cadre du modèle macroscopique (milieu continu).
Montrer que l’accroissement relatif de volume de la tranche
comprise entre x et
est égal à : |
|
En déduire l’équation du mouvement de la tranche
dx, soit
Retrouver l’expression établi en 2)2)b)
Application numérique : calculer ;
donner pour les fréquences sonores audibles par l’être humain,
les valeurs extrêmes de la longueur d’onde ; que pensez-vous, pour
ces fréquences, de la condition .
| Réponse 21 | Réponse 22a | Réponse 22b | Réponse 22c | Réponse 23 |
3) Etude thermodynamique
Même non excité par une vibration, l’atome d’un solide n’est pas stable à sa position d’équilibre : il oscille de part et d’autre de cette position.
3)1) Oscillations élastiques
Pour la chaîne monodimensionnelle, on admet que chaque atome, dans son mouvement oscillant, possède :
La thermodynamique statistique de Boltzmann prévoit
la répartition des états des oscillateurs du système, c’est
à dire la probabilité pour un oscillateur d’être défini
par le couple de variables
à près.
Cette probabilité est égale à
3)1)a) Donner le nom de la constante ;
calculer cette constante à partir de celle des gaz parfaits et du nombre
d’Avogadro.
3)1)b) Pourquoi calcule t’on la constante A à partir de
la relation
Montrer que
(on utilisera )
3)1)c) L’énergie moyenne
se calcule à partir de .
3)2) Oscillations inélastiques
Pour une énergie d’interaction élastique
, calculer,
en vous servant des résultats en 3)1)c), les élongations
maximales de l’oscillation de l’atome
et à
droite et à gauche de la position d’équilibre.
Application numérique : en plus des données en 1)2)b) La température étant suffisante, on doit tenir compte d’une énergie d’interaction inélastique (figure ci-contre). |
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| Réponse 31a | Réponse 31b | Réponse 31c | Réponse 32 |