Table des matières
Joindre l'auteur

Structure de la matière : chaîne d’atomes monodimensionnelle

Problème

On se propose d’étudier quelques propriétés physiques des cristaux monoatomiques.

Au niveau microscopique, on utilise le modèle simplifié de la chaîne d’atomes monodimensionnelle. On appelle m la masse de l’atome, a la distance entre deux atomes successifs lorsque ceux-ci sont en équilibre ; l’interaction entre deux atomes successifs schématisée par des " ressorts " est traduite par une énergie d’interaction de type potentielle

Au niveau macroscopique, le cristal est un milieu continu de section S, de longueur L, de masse volumique .

1) Etude statique
1)1)
Ecrire pour chacun des modèles la masse par unité de longueur et en déduire que .

1)2 L’extrémité de gauche étant fixée dans chacun des modèles, on exerce sur l’extrémité de droite une force d’étirement d’intensité F.
1)2)a) On admet que chacun des ressorts est allongé d’une même quantité notée u si le poids de chaque atome est négligeable devant les forces d'interaction qui s'exercent entre deux atomes successifs.
A partir d’un développement limité de l’énergie d’interaction , montrer qu’en première approximation .
Comment appelle t’on ce type de force.
1)2)b) Au niveau macroscopique, la loi de Hooke exprime l’allongement du modèle (E est appelé le module de Young).
Dans le système SI, quelle est l’unité du module de Young ?
Montrer que  ; en déduire la relation .
Application numérique : calculer pour , , et .

| Réponse 11 | Réponse 12a | Réponse 12b |

2) Etude dynamique

Lorsque la chaîne est en mouve-ment longitudinal, chaque atome est repéré par son déplacement , par rapport à sa position au repos n entier repère le nième atome de la chaîne.
Chaque ressort exerce une force de rappel proportionnelle à son

allongement par rapport à sa longueur a au repos (K : coefficient de proportionnalité)

2)1) Montrer que l’équation du mouvement pour les atomes de la chaîne s’écrit :

2)2)a) On cherche une solution sous forme d’onde progressive représente l’élongation, au temps t que prendrait une onde d’amplitude , de pulsation et de vecteur d’onde , aux points où se trouvent les masses dans la chaîne au repos.
Montrer que cette solution est possible () si .

2)2)b) Représenter la courbe .
Montrer que le mouvement des atomes est inchangé si (p entier positif) ; Conclusion.
Montrer que, pour les grandes longueurs d’onde, .
Que se passe t’il pour des pulsations ?

2)2)c) Pour les grandes longueurs d’onde ( ; on donnera un ordre de grandeur à ), on peut considérer que le cristal est un milieu continu (modèle macroscopique) et on définit une fonction telle que
A partir d’un développement de Taylor, montrer que :

En déduire l’équation aux dérivés partielles
Quelle est la signification physique de cette équation ? Que représente la quantité  ?

2)3) La vibration longitudinale est traitée dans le cadre du modèle macroscopique (milieu continu).

Montrer que l’accroissement relatif de volume de la tranche comprise entre x et est égal à :

En appliquant la loi de Hooke, montrer que l’intensité de la force en x est

En déduire l’équation du mouvement de la tranche dx, soit
Retrouver l’expression établi en 2)2)b)
Application numérique : calculer  ; donner pour les fréquences sonores audibles par l’être humain, les valeurs extrêmes de la longueur d’onde ; que pensez-vous, pour ces fréquences, de la condition .

| Réponse 21 | Réponse 22a | Réponse 22b | Réponse 22c | Réponse 23 |

3) Etude thermodynamique

Même non excité par une vibration, l’atome d’un solide n’est pas stable à sa position d’équilibre : il oscille de part et d’autre de cette position.

3)1) Oscillations élastiques

Pour la chaîne monodimensionnelle, on admet que chaque atome, dans son mouvement oscillant, possède :

La thermodynamique statistique de Boltzmann prévoit la répartition des états des oscillateurs du système, c’est à dire la probabilité pour un oscillateur d’être défini par le couple de variables à près.
Cette probabilité est égale à
3)1)a) Donner le nom de la constante  ; calculer cette constante à partir de celle des gaz parfaits et du nombre d’Avogadro.
3)1)b) Pourquoi calcule t’on la constante A à partir de la relation

Montrer que (on utilisera )
3)1)c) L’énergie moyenne se calcule à partir de .

3)2) Oscillations inélastiques

Pour une énergie d’interaction élastique , calculer, en vous servant des résultats en 3)1)c), les élongations maximales de l’oscillation de l’atome et à droite et à gauche de la position d’équilibre.

Application numérique : en plus des données en 1)2)b)

La température étant suffisante, on doit tenir compte d’une énergie d’interaction inélastique (figure ci-contre).

Représenter sur le graphique les points d’élongations maximales ; en déduire que l’oscillation se produit autour d’une valeur que l’on représentera sur le graphique ; montrer que augmente avec la température ; le phénomène étudié est il important pour les solides ?

| Réponse 31a | Réponse 31b | Réponse 31c | Réponse 32 |