Description macroscopique de la matière

Plan

1. Physique des milieux continus
2. Statique des fluides
3. Température et équation d'état des gaz parfaits
4. Equations d'état
5. Déformation des solides
6. Changements de phases (d'état) des corps purs

1. Physique des milieux continus

Parce que l’enseignement des notions d’atomistique est largement développé, chacun est convaincu du caractère discontinu de la matière. Pourtant à l’échelle macroscopique courante, la matière nous parait continue. Ces deux façons d’appréhender la matière sont complémentaires, se nourrissent l’une de l’autre tout au long de l’enseignement des Sciences Physiques.
La Physique ne s’est pas faite en un jour, elle est le résultat de tâtonnements successifs, un cours n’est jamais linéaire. Il arrive souvent que l’on soit amené à faire appel au sens commun pour présenter une notion, un modèle qui, de fait, nous sert à définir, à qualifier, à quantifier le phénomène …donc à le comprendre

Macroscopiquement aussi petit soit-il, un échantillon de matière, en Physique des milieux continus, contient un grand nombre de particules - 3 cm³ d’eau renferme 10²³ molécules - . L’hypothèse de milieu continu considère que la matière occupe continûment tout le volume. Ainsi si un échantillon de volume dV contient des particules, la masse dm de l’échantillon sera la somme des masses des particules et, en Physique des milieux continus, on définit la masse volumique  qui a donc un caractère de valeur moyenne.

1.1. Systèmes. Variables d’état. Etat d’équilibre. Equations d’état.

Nous appelons système un ensemble constitué d’un grand nombre de particules. Tout système sera en interaction avec d’autres systèmes de l’Univers qui constituent le milieu extérieur.
L’interaction se traduit par des échanges de matière et des échanges d’énergie sous forme de travail et de chaleur.
Système et milieu extérieur peuvent ne pas présenter de différences de nature, mais l’observateur les différencie par le rôle qu’il leur fait jouer, les frontières les séparant pouvant être réelles ou fictives.
Un système est fermé s’il ne peut échanger de la matière avec l’extérieur, dans le cas inverse il est ouvert.
Un système fermé est isolé s’il n’échange aucune énergie avec l’extérieur, il n’est pas isolé s’il échange de l’énergie.

En Physique des milieux continus, on décrit l’état d’un système par l’introduction d’un nombre restreint de paramètres mesurables qui rendent compte de l’état du système. On les appelle variables d’état.
C’est l’expérience qui est déterminante pour définir les variables d’état nécessaires.
La température, la pression, le volume, la quantité de matière sont les variables d’état les plus couramment nécessaires.
Un système est en état d’équilibre si les variables d’état du système sont constantes (dans le temps) et uniformes dans toute partie homogène du système.

Pour mieux comprendre : Soit le mur extérieur d’une maison chauffée. Sa température varie d’un endroit à un autre du mur, de la température intérieure à celle extérieure. Le système " mur " est en état de déséquilibre même si, en chaque endroit, la température est constante. Dans ce cas, on dira que le mur est en régime permanent. Si la température évoluait au cours du temps, le mur serait en régime transitoire.

Dans un système en état d’équilibre, on appelle équation d’état toute relation entre les variables d’état.
En Physique des milieux continus, la Thermodynamique est définie comme la science qui étudie les phénomènes où intervient la température. Elle est née vers les années 1820, au début de l’ère industrielle, de la nécessité de connaître, sur les machines thermiques construites, la relation entre les phénomènes thermiques et les phénomènes dynamiques, d’où son nom.

1.2. Transformations d’un système

Dans une transformation il y a variation d’au moins une variable d’état du système qui évolue d’un état initial à un état final. Sauf pour les systèmes fermés, isolés où il y a transformation spontanée du système vers un état d’équilibre si celui-ci n’était pas en état d’équilibre, la transformation se produit par l’action du milieu extérieur.
Pour que la transformation puisse être définie convenablement, il conviendra que les états initial et final soient des états d’équilibre.
Si état initial et état final sont identiques, la transformation est appelée cycle.

Les différents types de transformations

Transformations quasistatiques

Si dans une transformation, le système reste, à chaque instant, très voisin d’un état d ’équilibre, la transformation est dite quasistatique. A chaque instant, en première approximation, les variables d’état restent définies.

Transformations réversibles

Une transformation est dite réversible si le système évolue en passant par une suite continue d’états d’équilibre et s’il existe une transformation permettant de ramener le système et le milieu extérieur, à chaque instant, à l’équilibre précédent. De fait, cette transformation ramène système et milieu extérieur dans leurs états initiaux.
Il y a contradiction entre état d’équilibre et évolution, en toute rigueur une transformation réversible n’est pas réalisable. On peut, au mieux, s’en approcher par une transformation quasistatique avec possibilité de revenir à l’état précédent.

Transformations irréversibles

Ce sont toutes celles qui ne remplissent pas les conditions de la réversibilité.

Remarque

A chaque instant d’une transformation réversible, voire quasistatique, on peut écrire les équations d’état du système. Il existe, en plus, une (ou plusieurs) relation(s) entre les variables d’état liées à la nature de la transformation. Il ne faut pas donner un statut d’équation d’état à cette (ces) dernière(s) relation(s).

2. Statique des fluides

2.1. Pression dans un fluide au repos (en équilibre dans un référentiel galiléen)

Notre sens commun nous fait appréhender un fluide (gaz ou liquide) comme étant de nature très différente d’un solide. Ce dernier a une forme propre qui nous permet de le reconnaître. Liquide ou gaz n’ont pas de forme propre, ils épousent la forme du récipient qui les contient, sont déformables sous la moindre action. Liquide et gaz ont des différences : un liquide, contrairement à un gaz, a un volume défini, il ne remplit pas tout le volume du récipient.

2.1.1. Etude expérimentale dans le champ de pesanteur
 

Le tube en U avec la membrane élastique est placé dans l’air atmosphérique : la membrane n’est pas tendue. Nous plaçons l’extrémité avec membrane dans un liquide (ou dans un gaz dont on peut faire varier le volume à l’aide d’un piston) : la membrane élastique est tendue comme indiqué sur la figure ; ceci traduit des efforts du fluide sur la membrane.

La forme de la membrane est indépendante de l’orientation de la membrane autour d’un même point, les efforts sur la membrane sont perpendiculaires à celle-ci.
Si le fluide est un liquide, la déformation de la membrane augmente de manière significative avec la profondeur.

Autre expérience : si, dans un récipient contenant un liquide, nous perçons un trou, l’écoulement de liquide se produit perpendiculairement à l’orifice quelque soit l’orientation de ce dernier.

2.1.2. Définition de la pression dans un fluide
 

Considérons un fluide en équilibre dans un référentiel lié au sol supposé galiléen et une portion de ce fluide limitée extérieurement par un cylindre élémentaire de révolution d’axe AB horizontal et dont les bases sont, en A une section droite dS, en B la surface plane dS’ dont la normale fait un angle a avec l’axe AB. Nous avons .

Cette portion de fluide n’est pas soumise qu’à son seul poids (voire à d’autres forces dues à un champ extérieur) pour être en équilibre. Elle est soumise à des forces " superficielles " (sur les surfaces délimitant le cylindre) dues au fluide extérieure environnant la portion, les forces internes à la portion n’interviennent pas car elles obéissent au principe de l’action et de la réaction.
Les forces exercées par le fluide environnant sur les bases (non matérielles) dS et dS’ du volume élémentaire de fluide sont normales à celles-ci (sinon il y aurait glissement entre les couches du fluide puisqu’un fluide se déforme à la moindre action extérieure).
La condition d’équilibre sur l’axe horizontal se traduit par  .

Soit  qui, par définition, est la pression dans le fluide.

La pression p en un point d’un fluide en équilibre est indépendante de l’orientation de l’élément de surface qui sert à la définir.
La pression est une grandeur scalaire positive, la force de pression est une grandeur vectorielle.
La pression est la même en tous les points d’un plan horizontal pris dans un fluide en équilibre.

2.1.3. Relation locale traduisant l’équilibre d’un fluide dans un référentiel galiléen

Exprimons la relation d’équilibre pour un élément de fluide en forme de parallèpipède rectangle de dimensions dx, dy et dz à partir du point A de coordonnées x, y et z.
Sur la surface rectangulaire ABFE, nous avons une pression  et, sur la surface rectangulaire DCGH, nous avons une pression .
Il en est de même sur les autres faces du parallèpipède rectangle en permutant les coordonnées. Les forces dues à des champs de forces extérieures s’écrivent .
En appliquant les relations d’équilibre de la Mécanique et en projetant suivant la direction Oy, on obtient .

Soit encore ;  ; 
Sous forme vectorielle, ces trois dernières relations s’écrivent :

Remarque : le gradient de pression n’est due qu’aux champs de forces extérieures.

2.2. Cas d’un fluide au repos dans le champ de pesanteur

Principe de l’hydrostatique (dit de Pascal)

Le référentiel est un référentiel lié au sol terrestre, le fluide a pour masse volumique m et le champ de pesanteur (qui tient compte de l'accélération d'entraînement due à la rotation de la Terre due autour de l'axe Sud-Nord) est le seul champ de forces extérieures.
Dans ce cas  relation équivalente à  si l’axe est vertical ascendant. Ceci constitue le principe de l’hydrostatique ou principe de Pascal.

Autre démonstration :
 

Dans le champ de pesanteur, on considère une tranche de fluide à l'altitude z d'épaisseur  en équilibre dans un référentiel lié au sol supposé galiléen. L'axe des z est vertical ascendant, on appelle  la masse volumique du fluide, et les intensités par unité de surface des forces extérieures qui s'exercent sur les bords de la tranche. L'écriture du principe fondamentale de la dynamique conduit à .

L’augmentation de pression entre une altitude z + dz et une altitude z est due au poids du fluide dans le cylindre de hauteur verticale dz et de surface horizontale unitaire.
L’évolution de pression est donc continue, même à la séparation de deux fluides.
La pression a une altitude z est égale au poids, par unité de surface horizontale, des couches de fluide situées à la verticale au-dessus de z.
Dans un même fluide au repos, les surfaces d’égale altitude sont isobares (même pression).
Dans le système MKSA, les pressions se mesurent en N m^-2 que l’on appelle Pascal (Pa).
Attention, il ne faudrait pas conclure que les forces de pression s’exercent verticalement. Elles s’exercent perpendiculairement à tout élément de surface.

2.2.1. Surface de séparation entre deux fluides non miscibles au repos

Considérons deux points de cette surface. Soit dz leur différence d’altitude.
On peut écrire, en négligeant toute discontinuité de la pression à la traversée de la surface de séparation :
ce qui entraîne dz = 0.
La surface de séparation entre deux fluides non miscibles au repos est plane et horizontale.

L’étude de la stabilité de l’équilibre montrerait que le liquide de densité plus faible se place au dessus de celui de densité plus forte.

2.2.2. Fluide incompressible (liquide)

La masse volumique est constante et l’intégration du principe de l’hydrostatique donne 

Applications : baromètre - presse hydraulique

Dans un baromètre à mercure, pour une pression atmosphérique normale, la hauteur h est égale à 760 mm ce qui correspond à 
Souvent, les pressions sont exprimées en mm de mercure, en atmosphère ( 1 atm correspond à la pression atmosphérique normale), en bar (1 bar = 10⁵ Pa) ou millibar (mbar).
Nous remarquerons que pour une hauteur d’eau de 3m, la variation de pression est égale à 30000 Pa soit à peu près le tiers de la pression atmosphérique normale.
A l’échelle humaine courante, les variations de pression sont sensibles dans les liquides.

Un baromètre mesure une pression absolue puisque la pression dans le vide est nulle (pas de masse = pas de poids). Les manomètres mesurent les différences de pression.

2.2.3. Fluide compressible (gaz)

La masse volumique dépend de la pression et nous le verrons de la température. On ne peut intégrer directement la relation dp = -mg dz.
Cependant les masses volumiques des gaz sont faibles (air dans les conditions courantes 1,3 Kg m^-3) et, à l’échelle humaine courante, on négligera les variations de pression avec l’altitude dans les gaz.
Seul l’air atmosphérique présente des différences d’altitude suffisantes pour ne pas négliger les variations de pression.

2.2.4. Théorème d’Archimède et corps flottants

Théorème d’Archimède

Considérons (Fig. a) un corps entièrement immergé dans un fluide homogène au repos. Il occupe un volume V et subit de la part du fluide des forces de pression.

" Tout corps plongé dans un fluide en équilibre est soumis de la part de celui-ci à une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du liquide de remplacement et appliquée à son centre de masse appelé centre de carène. "
En effet, en l’absence de corps immergé, le fluide de remplacement serait en équilibre sous l’action des forces de pression exercées par le fluide environnant et des forces de pesanteur. Les forces de pression sont l’opposé du poids du fluide de remplacement.

Autre démonstration : nous appliquons le théorème du gradient (cas particulier du théorème d’Ostrogradsky) pour la résultante des forces de pression sur une surface fermée S contenant le volume V.
(le vecteur  est orienté vers l’extérieur de la surface fermée).

Ce théorème reste vrai si le corps est immergé dans plusieurs fluides en équilibre.

Statique des corps flottants

Lorsque le poids du liquide de remplacement est supérieur au poids du corps, seule une partie de ce dernier est immergée. Le corps est alors soumis à deux forces : son poids, appliqué au centre de masse C, et la poussée d’Archimède appliquée au centre de carène K.
A titre d’exemple, considérons l’équilibre d’une boîte parallélépipédique à section rectangulaire ouverte flottant sur l’eau (Fig. b). Une telle boîte, de dimensions L = 10 m, l = 4 m, h = 3 m et de masse M = 20 t, constitue un modèle simplifié d’une embarcation flottant sur l’eau. Elle s’enfonce dans l’eau d’une hauteur h’ telle que :

Notons que, la boîte étant ouverte et les parois latérales de masse négligeable, le centre de masse C est situé au centre de la base rectangulaire, alors que le centre de carène K est au- dessus de lui à la distance h’/2 . Dans ce cas, l’équilibre est stable : une légère rotation de la boîte autour de l’axe longitudinal passant par le centre de masse produit des oscillations autour de la position d’équilibre.

L’étude de la stabilité de la position d’équilibre, évidemment capitale dans la construction des navires, n’est pas envisagée.

2.3. Relation locale traduisant l’équilibre d’un fluide dans un référentiel non galiléen

En Mécanique, on apprend que le mouvement d’une masse " ponctuelle " m (mieux : le mouvement du centre de masse d’un système matériel de masse totale m) est régi, dans un référentiel non galiléen, par la relation  où on introduit les forces d’entraînement et de Coriolis.
L’absence de mouvement relatif imposent accélération et vitesse relatives nulles et donc  et 
Par suite, la relation d’équilibre s’écrit 
Pour le champ de forces extérieures de pesanteur 

2.4. Le phénomène de tension superficielle

Une molécule au sein d’un liquide est soumise de la part des autres molécules à des forces de Van der Waals d’origine électromagnétique qui varient en. Ce type d’interaction décroît très rapidement et peut être négligé au-delà d’une distance de l’ordre d’une dizaine de nanomètres.
A la surface de séparation de deux fluides (liquide-gaz ou liquide-liquide), la situation est différente en particulier l’isotropie des forces qui existe au sein d’un fluide n’est plus la règle et il apparaît un système de forces différent dans la couche capillaire (couche de liquide proche de la surface de séparation de deux fluides et dont l’épaisseur est de l’ordre du nanomètre).
A titre d’exemples, chacun visualisera que l’on peut soulever une pellicule d’eau savonneuse avec un anneau et qu’en soufflant sur cette pellicule on peut former un bulle de savon dont la surface en forme de sphère est tendue.

2.4.1. Tension superficielle
 

				Les phénomènes observés suggère de traiter la couche capillaire comme une membrane élastique supposée d’épaisseur nulle. Effectuons une incision de longueur dl dans la couche capillaire. Les lèvres sécartent ce qui signifie que, préalablement à l’incision, la partie droite D de la couche capillaire exerce sur l’élément dl appartenant à la partie de gauche G une force attractive  où A, coefficient de tension superficielle s’exprime en .
Liquide	A (N.m-1)	t ( °C )
eau		20
éthanol		20	Remarque : la partie droite D de la couche capillaire peut être remplacée par un solide ; la force garde la même valeur
glycérine		20
eau		60

2.4.2. Loi de Laplace

• Pour une goutte sphérique de liquide de rayon R dans l’air, si  est la pression dans le liquide et  celle dans l’air, on montre que 

• Pour une bulle de vapeur de rayon R dans un liquide, si  est la pression dans le liquide et  celle de vapeur, on montre que 

• Pour une bulle de savon de rayon R, si  est la pression dans la bulle et  celle extérieure, on montre que 

Plongeons un tube de faible diamètre (capillaire) dans un liquide contenue dans une cuve de grandes dimensions. Le liquide s’élève dans le tube. Ce phénomène s’appelle capillarité et la loi de Jurin permet d’en rendre compte. A partir de loi de Laplace, on montre la loi de Jurin :

L’angle q de contact dépend de l’interface : il est de 0° pour les interfaces eau-verre propre et éthanol-verre propre et respectivement de 140°, 90° et 107° pour les interfaces mercure-verre, eau-argent et eau-paraffine.

2.4.4. Mesure des tensions superficielles

Il existe plusieurs méthodes de mesure des tensions superficielles. Nous citerons celle utilisant directement la loi de Jurin, celle utilisant l’arrachement d’un solide du liquide et celle utilisant le détachement des gouttes de liquide d’un tube.

3. Température et équation d’état des gaz parfaits

" Il fait chaud ", " il fait froid ", " c’est chaud ", " c’est froid " ... que d’expressions du langage courant pour traduire le fait que la température fait partie du quotidien humain.
La première notion de température est physiologique, sensitive. Cependant, nos sensations sont insuffisantes pour établir une échelle de température et comparer des températures.
L’observation, l’expérience nous apprennent qu’un même système change (par exemple changement de volume) lorsque nos sensations de température évoluent. Ce constat va nous permettre de préciser quantitativement le paramètre physique température.

3.1. Principe de Thermométrie (ou Principe 0 de la Thermodynamique)

Considérons deux corps isolés en état d’équilibre. Mis en contact thermique entre eux (à ce stade de nos connaissances en contact physique) ils évoluent vers de nouveaux états d’équilibre.

Le principe 0 de la Thermodynamique affirme que la variable d’état température est caractéristique des états d’équilibre atteints.
En d’autres termes et en raisonnant de proche en proche, des systèmes mis en contact thermique évoluent vers des états d’équilibre où ils ont même température.

3.2. Echelles de température. Echelle légale

3.2.1. Thermométrie et grandeur thermométrique

La température n’est associé à aucune loi physique, nous pouvons donc choisir des valeurs arbitraires correspondant à des états d’équilibre déterminés. Ainsi la température peut être la valeur d’une grandeur physique (ou une fonction monotone arbitraire de cette grandeur) d’un système à condition d’établir une correspondance bi-univoque entre grandeur physique et température. Par comparaison des états d’équilibre d’autres systèmes avec ceux du système choisi, on mesurera la température des autres systèmes.
Le système choisi est appelé thermomètre, la grandeur physique grandeur thermométrique.

Exemple : le thermomètre est un fil, la grandeur thermométrique sa longueur.
La longueur dépend de la température puisque, si je " chauffe " le fil (je change ma sensation de toucher, je conclus que la température a varié) je constate que la longueur varie.
La température peut être définie soit comme la valeur de la longueur elle-même, soit comme une fonction monotone arbitraire de cette longueur.

Il suit que pour rendre la notion de température quantitativement utilisable par chacun, il a fallu définir une échelle universelle c’est à dire un thermomètre de référence, une grandeur thermométrique et une fonction monotone entre cette grandeur et la température.
La Science ne s’est pas faite en un jour et la définition actuelle de l’échelle légale de température est le résultat de tâtonnements successifs. C’est pourquoi, de nos jours, au quotidien, coexistent l’échelle Kelvin, l’échelle Celsius, l’échelle Farenheit, seule l’échelle Réaumur est tombée en désuétude.

3.2.2. Faits expérimentaux

Points fixes

Certains états d’équilibre sont particulièrement utiles car facilement reproductibles. On les appelle points fixes. Il s’agit des états d’équilibre de deux phases d’un même corps pur sous une pression donnée (solide en fusion, liquide en ébullition, ...) ou de trois phases d’un même corps pur ce qui se produit à une certaine pression (point triple).
Ces états d’équilibre sont facilement reproductibles car indépendants des masses des phases en présence.
Exemple : la résistance ou la longueur d’un fil de platine immergé dans un mélange de glace et d’eau sous une pression donnée est indépendante des masses d’eau et de glace en présence et reprend toujours la même valeur si on refait le mélange, la pression étant inchangée.
Nous savons reproduire facilement des températures.

Le gaz parfait, limite de comportement de tous les gaz réels.

L’expérience montre que, si l’on trace les courbes de compressibilité isotherme pour un nombre donné de molécules, on obtient dans un diagramme p, pV (dit diagramme d’Amagat) les courbes ci-après.

a la même valeur pour une température q fixée. Cette limite est proportionnelle au nombre de molécules N ou de moles n ( N = nN où N = 6,023 10²³ est le nombre d’Avogadro). Cette limite est indépendante du gaz considéré.
Ainsi  pour tous les gaz.

Définition du gaz parfait : Un gaz qui aurait, quelle que soit la pression, le comportement de tout gaz réel à pression nulle est appelée gaz parfait.
Les variables d’état pression p, volume V, température q et nombre de moles n sont liées par l’équation d’état 

3.2.3. Echelle légale de température

Le Kelvin : proposé en 1954, adopté en 1967 par le Comité International des Poids et Mesures, le Kelvin est défini de la manière suivante :
- Le thermomètre de référence est le thermomètre à gaz parfait,
- La grandeur thermométrique est le produit pV,
- La fonction monotone est linéaire soit pV = nRT où le symbole T est réservé à la température Kelvin (appelée aussi absolue) et où R est la constante des gaz parfaits.

La valeur de R est déterminée à partir d’un point fixe de référence (celui de l’équilibre des trois phases solide, liquide et gazeuse du corps pur H₂O appelé point triple de l’eau). Pour ce point fixe, on a donné la valeur 273,16 à la température. La mesure de pV à cette température, pour une mole, par extrapolation jusqu’à la pression nulle des courbes de compressibilité isotherme des gaz réels donne 2271,1 joules.
Il suit que R = 2271,1/273,16 = 8,314 MKSA.

La notation symbolique du Kelvin est K.

Remarque :  pV = nRT  équation liant les variables d'état des gaz parfaits est appelée équation d'état des gaz parfaits. Historiquement, cette relation est connue sous le nom de loi de Boyle-Mariotte.
Bien que valable en toute rigueur à la pression nulle, cette équation s’applique avec des précisions très satisfaisantes jusqu’à des pressions de quelques atmosphères pour les gaz réels.

3.2.4. Autres échelles de température

Pour les échelles Celsius (notation t), Farenheit (notation F) et Réaumur (notation R), seule diffère dans la définition la fonction monotone qui reste linéaire mais de la forme pV = aq + b.
Les correspondances sont souvent établies de la manière suivante :

où  correspondent respectivement aux points fixes d’ébullition de l’eau et de fusion de la glace sous la pression atmosphérique normale, les températures respectives étant 373,15 K et 273,15 K soient encore 100 °C et 0°C.
Il y a une simple translation entre les échelles Celsius et Kelvin (t = T - 273,15).

3.3. La mesure des températures

Mis à part quelques laboratoires spécialement équipés, on ne mesure pas une température avec un " thermomètre à gaz parfait ".
On se sert de thermomètres (et grandeurs thermométriques) que l’on étalonne, dans la gamme de température d’utilisation, à partir des valeurs des températures de points fixes déterminées par ces quelques laboratoires.

3.3.1. Points fixes fondamentaux

On trouvera ci-après les températures officielles assignées à certains points fixes ; ces valeurs, sauf pour les points triples, correspondent à des états d’équilibre sous la pression atmosphérique normale.
 

ETAT D' EQUILIBRE	T	t
Point d'ébullition de l'hélium	4,2	-268,95
Point triple de l'hydrogène	13,81	-259,34
Point d'ébullition de l'hydrogène à 33330,6 Pa	17,04	-256,11
Point d'ébullition de l'hydrogène	20,28	-252,87
Point d'ébullition du néon	27,1	-246,05
Point triple de l'oxygène	54,36	-218,79
Point d'ébullition de l'oxygène	90,19	-182,96
Point de fusion de l'eau	273,15	0
Point triple de l'eau	273,16	0,01
Point d'ébullition de l'eau	373,15	100
Point de fusion du Zinc	692,73	419,58
Point de fusion de l'argent	1235,08	961,93
Point de fusion de l'or	1337,58	1064,43

3.3.2. Les thermomètres

• Le Thermomètre à " gaz parfait "

• Les thermomètres à dilatation de liquide

• Les thermomètres à tension de vapeur saturante

• Les thermocouples

Trois fils constitués de deux métaux ou alliages différents M et M’ sont soudés (ou en contact) en a et b où règnent des températures . Il apparaît en A et B une force électromotrice e fonction de l’écart de températures. Des relations de type  sont utilisées pour déterminer l’écart de température. Leur domaine d’utilisation varie entre -180 et 2500 °C.

• Les thermomètres à résistance

• Les thermistances

• Les thermomètres à quartz

• Les pyromètres optiques

• Les très basses températures (quelques mK)

3.3.3. Thermométrie

Mesurer une température s’avère souvent difficile ; en effet, faire un étalonnage précis d’un thermomètre soulève des problèmes, introduire le thermomètre à l’endroit où l’on veut connaître la température perturbe, parfois notablement, la température.
Nous n’en dirons pas plus dans le cadre de ce cours.

4. Equations d’état

4.1. Applications simples de l’équation d’état des gaz parfaits

4.1.1. Un gaz parfait obéit aux lois de Gay-Lussac et de Charles

On dit qu’un gaz obéit à la loi de Gay-Lussac si, à pression constante, son volume est proportionnel à la température.
On dit qu’un gaz obéit à la loi de Charles si, à volume constant, sa pression est proportionnelle à la température.

Pour un gaz parfait à  (Loi de Gay-Lussac)
Pour un gaz parfait à  (Loi de Charles)

4.1.2. Un gaz qui obéit aux lois de Gay-Lussac et de Charles est un gaz parfait

Loi de Gay-Lussac : à . Si on change la valeur de p, cette dernière constante change. C’est donc une fonction de

Loi de Charles : à . Si on change la valeur de V, cette dernière constante change. C’est donc une fonction de
En réunissant ces deux résultats, on obtient .
Soit  puisque la relation doit être vraie quels que soient V et p.

soit encore pV = CT

4.1.3. Mélange idéal de gaz parfaits

Dans une enceinte de volume V, nous mélangeons différentes substances chimiques en phases gazeuses sans possibilité de réactions chimiques entre elles. Le mélange est dit idéal.
Si p la pression du mélange est suffisamment faible, l’expérience montre que :
est le nombre de moles du gaz i et n le nombre total de moles gazeuses sans distinction de la substance gazeuse.
Le mélange se comporte comme un gaz parfait.

Si le gaz i était seul dans l’enceinte, il se comporterait comme un gaz parfait et sa pression  serait donnée par la relation .
On remarquera que la pression p dans le mélange est liée aux pressions  par la relation .
est appelée pression partielle du gaz i dans le mélange. La pression du mélange est la somme des pressions partielles.
On appelle fraction molaire du gaz i dans le mélange, la quantité .
On déduit que .
La quantité  représente la masse totale du mélange si  est la masse molaire du gaz i.

On définit la " masse molaire du mélange " par .

4.1.4. Autre écriture de l’équation d’état des gaz parfaits

pV = nRT s’écrit aussi pV = (m/M) RT = mrT où r = R/M.
Si N est le nombre de molécules du gaz, N = nN où N est le nombre d’Avogadro.
PV = nRTpV = NkT où est la constante de Boltzmann.
L’équation d’état des gaz parfaits s’écrit encore  en introduisant  la densité volumique molaire et  la densité volumique des molécules.

Remarque : localement la pression est proportionnelle à la densité des molécules

4.1.5. Masse volumique et densité des gaz parfaits
Soit m = m/V la masse volumique. On obtient (autre écriture de l’équation d’état des gaz parfaits).
On appelle densité d’un gaz le rapport de la masse d’un certain volume de gaz sur la masse du même volume d’air pris dans les mêmes conditions de pression et de température.
(en grammes)

4.2. Equations d’état des corps réels

4.2.1. Cas des gaz
 

Les premières expériences de compressibilité isotherme des gaz, dans des domaines de pression très limités ne dépassant pas quelques atmosphères, ont été faites au 17ème siècle par Mariotte en France et par Boyle en Angleterre. Plusieurs expérimentateurs (Regnault, Andrews, Cailletet et Amagat) ont repris ces études au 19ème siècle dans des domaines de pression de plus en plus élevés. Kamerlingh Onnes à Leyde a étendu les mesures au domaine des basses températures.

Ces mesures ont été reprises au 20^ème siècle avec une précision accrue sur tous les gaz connus dans des domaines de température extrêmes et pour des pressions atteignant 1000 atmosphères.
De longues séries de mesures systématiques ont été faites dans deux laboratoires spécialisés : en Europe celui de Van Der Waals à Amsterdam sous la direction de Michels et aux Etats -Unis au laboratoire du Massachusetts Institute of Technology sous la direction de Beattie.
Nous présentons, à titre d’exemple, une série de résultats en coordonnées d’Amagat p, pV pour le diazote.
 

Au-dessous d’une température (-147 °C pour le diazote) les courbes sont interrompues car le gaz se liquéfie. Cette température est appelée température critique et notée TC . Une autre température particulière apparaît, la température de Mariotte TM , où les courbes sont horizontales pour p = 0 ( pour le diazote). Pour des températures supérieures à la température de Mariotte, les pentes pour p = 0 sont positives, elles sont négatives dans le cas contraire. Pour le gaz parfait, limite de comportement de tous les gaz réels lorsque la pression devient nulle, les courbes sont horizontales quelle que soit la température. Un gaz réel se rapproche au mieux du comportement du gaz parfait à sa température de Mariotte.

Equations d’état des gaz

Il n’existe pas d’équation universelle rendant compte des courbes ci-dessus.
Pour des valeurs faibles de p, nous devons retrouver l’équation d’état des gaz parfaits pV=nRT
Des équations classiques sont donc :


La validité de ces équations dépend, pour la précision voulue, essentiellement du domaine de variation de la pression.
Ainsi jusqu’à 2 atmosphères, et même 10 ou 20, on utilise l’équation d’état des gaz parfaits.
L’équation d’état est d’une utilisation assez générale. Dans le chapitre " Description microscopique de la matière ", on donnera une interprétation des termes .
La plus célèbre des équations de ce type est celle de Van der Waals : où (résultats expérimentaux).

Cette équation de Van der Waals interprète la température de Mariotte.

Pour, l’équation de Van der Waals s’approche au mieux de l’équation d’état des gaz parfaits.
Elle interprète aussi la température critique.

On utilise d’autres équations d’état de type Van der Waals, par exemple
Diétérici  ; Berthelot  ;
Clausius 

Les équations de Van der Waals, Diétérici, Berthelot ou Clausius peuvent, dans certaines limites, s’appliquer aux liquides.

4.2.2. Cas des liquides et des solides

En première approximation, le volume d’un liquide ou d’un solide est indépendant de la température ou de la pression.
Cette approximation est souvent trop simplificatrice et il convient de connaître l’équation d’état.
Les livres de données thermodynamiques présentent, dans le cas des liquides et des solides, les coefficients thermoélastiques,
coefficient de dilatation à pression constante

coefficient d’augmentation de pression à volume constant

coefficient de compressibilité isotherme

Remarque : la relation mathématique 

Le lecteur remarquera que l’intégration de deux des coefficients thermoélastiques fournit l’équation d’état et, inversement, la dérivation de l’équation d’état donne les coefficients thermoélastiques (pour un gaz parfait, ).
Nous ne décrirons pas les appareillages utilisables mais invitons le lecteur intéressé à se reporter à des ouvrages spécialisés.

Pour ce qui est de la connaissance du coefficient de dilatation à pression constante des solides, on prend des solides en forme de fil et on mesure le coefficient de dilatation linéaire à pression constante .
Le coefficient de compressibilité isotherme s’obtient à partir des modules de Young, de Poisson et/ou de cisaillement et cette question sera abordé dans le paragraphe suivant " Déformation des solides ".

Pour ce qui est de la connaissance du coefficient à pression constante des liquides, la mesure se fait directement à partir de l’expérience mise au point par Dulong et Petit ou à l’aide d’un dilatomètre à tige.
La mesure du coefficient de compressibilité isotherme pour les liquides se fait directement dans des piézomètres à capillaire.

Remarque : on ne mesure pas le coefficient b d’augmentation de pression à volume constant parce qu’il est très difficile de faire subir à un liquide ou un solide une transformation isochore.

Equations d’état des solides et des liquides

Les coefficients a etc_Tsont faibles si bien que est une équation d’état habituelle dans des limites de température et de pression à préciser pour chaque corps.

5. Déformation des solides

Un solide n’est jamais parfaitement rigide : soumis à des forces extérieures, il se déforme.
On distingue divers types de déformations : variation des dimensions, flexion, cisaillement et torsion.
Il peut se faire qu’une partie de la déformation subsiste lorsque l’action extérieure cesse : on dit que le corps a subi une déformation permanente ou plastique.
Lorsque les forces extérieurs sont faibles et pour de nombreux solides, la déformation disparaît lorsque l’action extérieure cesse : on dit que la déformation est élastique. Pour chaque sollicitation et chaque corps, il existe une force limite au delà de laquelle les déformations cessent d’être élastiques, c’est la limite d’élasticité.
Nous limitons nos propos aux déformations élastiques et présentons, dans le cas simple de solides homogènes et isotropes, les relations entre les efforts intérieurs de cohésion (contraintes) qui équilibrent les forces extérieures et les déformations.

5.1. Contraintes normales

Allongement d’un barreau
 

A ce solide dont l’une des dimensions est grande par rapport aux deux autres, appliquons sur les faces terminales, supposées normales à la plus grande dimension, deux forces de traction de même intensité F égales et opposées. L’expérience montre que le barreau s’allonge suivant la grande dimension et se contracte suivant les dimensions transversales. Ces variations de dimensions suivent une loi linéaire et réversible tant que  limite d’élasticité.

La loi de Hooke permet d’écrire :  où  est l’allongement relatif du barreau, S la surface transversale,  la contrainte normale et  le module d’Young, coefficient caractéristique du matériau.

a les dimensions d’une pression ; pour les métaux, il varie de .
Corrélativement à cet allongement, se produit une contraction des dimensions latérales (perpendiculaires à ).
Si l est une dimension latérale caractéristique, alors  où  est le coefficient de Poisson. Ce coefficient est toujours inférieur à 0,5 (de l’ordre de 0,3 pour les métaux, voisin de 0,5 pour le caoutchouc).
Remarque : l’expérience a été décrite en traction ; elle aurait pu être faite en compression, les résultats étant symétriques dans la phase élastique.

5.2. Compression hydrostatique

On soumet un solide à une pression uniforme en l’immergeant dans un fluide. Une variation  de la pression s’accompagne d’une variation  du volume telle que 

Pour déterminer la relation entre, nous prenons un solide en forme de parallélépipède rectangle de cotés a, b et c.
La variation de pression  sur la section () provoque les déformations ,  et .

On obtient des déformations de même forme pour les variations de pression  sur les sections (a, c) et (a, b).
En superposant les déformations, on obtient au total :

ð ð

5.3. Contraintes tangentielles
 

Sur les faces opposées d’un parallélépipède rectangle, on exerce des forces tangentielles d’intensité F égales et opposées. Le parallélépipède se déforme d’un angle . Tant que l’on reste en deçà de la limite élastique, on peut écrire la loi  où S est la surface des faces,  la contrainte tangentielle et G le module de cisaillement ou de rigidité.

G s’exprime en  et varie de  à  pour les métaux.

Module d’Young, coefficient de Poisson et module de cisaillement
 

On considère un cube (trace carrée ABCD) et on exerce sur ses faces supérieure et inférieure des contraintes normales. Le cube se déforme et devient un parallélépipède rectangle (trace rectangulaire ). Le parallélépipède rectangle, d’épaisseur faible (trace rectangulaire de directions parallèles aux diagonales) se déforme sous l’action des contraintes.

Cette déformation peut être comprise comme due à des contraintes tangentielles (cisaillement) dans les plans de direction .
Ces contraintes tangentielles sont égales à la projection des contraintes normales, soit

Des considérations géométriques permettent d’écrire que  où  représente la déformation du parallélépipède rectangle.

ðð
5.4. Torsion
 

On considère un tube d’épaisseur faible e, de longueur L, de rayon r. On lui fait subir une torsion d’angle  autour de son axe. On se propose de calculer le moment  des forces exercées pour effectuer cette torsion. La figure ci-contre montre une déformation de cisaillement d’angle  La force dF sur un élément de longueur dl est égale à : ð

En intégrant à tous les éléments de la base du tube, on obtient 

Pour un barreau cylindrique de même longueur, de rayon R, on intègre la relation précédente en considérant une succession de tubes d’épaisseur .

Remarque : évidemment, tube ou barreau exerce un couple résistant (de rappel) opposé à celui que doit exercer l’opérateur extérieur pour effectuer la torsion.

5.5. Flexion
 

On considère une poutre (pour le dessin, encastrée à l’une de ses extrémités et libre à l’autre). La poutre fléchit (sous l’effet de son poids et d’éventuelles charges) et les génératrices, initialement suivant l’axe des x deviennent des courbes d’équation y(x). Il est clair que les génératrices supérieures s’allongent, qque les génératrices inférieures se raccourcissent et qu’il existe une génératrice (fibre neutre) gardant la même longueur.

Une tranche de poutre comprise entre l’abscisse  subit de la part de la partie amont notée 1 et de la partie aval notée 2 des forces tangentielles (efforts tranchants), respectivement  verticale ascendante et  verticale descendante, dont les effets sont de l’empêcher de " tomber " et de provoquer sa flexion (rotation).
où  représente les forces linéaires (par exemple poids) auxquelles la poutre est soumise, soit l’équation .

Ces forces tangentielles exercent un moment qui est équilibré par les contraintes normales dues à l’allongement et au raccourcissement des génératrices situées de part et d’autre de la fibre neutre.
 

La fibre neutre est représentée par un trait noir épais, son centre de courbure est C et son rayon de courbure est , sa longueur est donc . Les autres fibres sont repérées par rapport à la fibre neutre parleur ordonnée z. Leur longueur est donc : ð un " allongement " relatif  suivant la loi de Hooke.

L’ensemble des forces  est de direction pratiquement horizontale, leur sens est différent suivant que l’on considère une fibre située au dessus ou au dessous de la fibre neutre.
Il n’y a pas de déplacement suivant la direction de l’axe des x,

aussið.

représente le centre de gravité de chaque section de la poutre, ainsi la fibre neutre est le lieu des centres de gravité de chaque section de la poutre.
L’ensemble des forces sur une section de la poutre a un moment fléchissant où  est appelé moment quadratique.
L’équation de la fibre neutre y(x) s’obtient en utilisant la formule du rayon de courbure :
ð.
Les efforts tranchants se calculent à partir de , soit  ou de 

Les constantes d’intégration sont déterminées par le système de fixation de la poutre,
- pour un encastrement horizontal en , on a  et  [ cette dernière condition est imposée par le fait qu’un angle non nul traduirait une cassure de la poutre,
- pour une extrémité libre en , on a  et , soient  et ,
- pour une fixation sur un point d’appui en , on a  et  puisque le point d’appui empêche, là où il se trouve, le déplacement et la flexion.

La flèche de la poutre est la valeur maximale de y(x), elle sera d’autant plus faible que le matériau aura un module d’Young de forte valeur et une forme telle que  soit le plus grand possible.

6. Changements de phases (d’état) des corps purs

6.1. Introduction

Le schéma ci-après donne la nomenclature des divers changements de phase (on dit aussi changements d’état ou transitions de phase) entre les états solide, liquide et gazeux.

Il convient d’être précis avec le terme condensation.
Il s’agit du passage de l’état dilué ou raréfié (gazeux ou vapeur) à un état condensé (liquide ou solide). Pour être clair, on devrait préciser, condensation à l’état liquide ou condensation à l’état solide.
Souvent pour le passage à l’état liquide, on emploie l’expression liquéfaction lorsqu’il s’agit d’un gaz et l’expression condensation lorsqu’il s’agit d’une vapeur.

6.2. Observation courante
 

L’expérience courante de transitions de phase consiste à fournir de l’énergie thermique à un solide à pression constante. Sa température augmente, puis il fond (la température reste constante durant la fusion). Lorsque le corps est entièrement liquide, sa température recommence à augmenter, puis il bout (sa température reste constante durant l’ébullition). Lorsque le corps est gazeux, sa température recommence à augmenter. Par refroidissement, on peut faire l’expérience inverse, en passant par les stades de condensation et de solidification.

6.3. Equilibre liquide-vapeur

Etude expérimentale, courbe de saturation

Aux températures inférieures à la température critique T_c , la compression isotherme d’un gaz provoque sa liquéfaction, cependant nous devons nous situer à des pressions supérieures à la pression p_t du point triple où coexistent les états solide, liquide et gazeux.
Si, à partir d’une pression faible où l’état est gazeux, on veut réduire le volume, il faut augmenter la pression (un gaz est facilement compressible). A un certain niveau de pression que nous nommons pression de vapeur saturante p_V , il apparaît une première goutte de liquide facile à distinguer et, à partir de là, on peut réduire le volume sans augmenter la pression. On constate que, dans l’enceinte, il y a de plus en plus de liquide. Lorsqu’il n’y a plus que du liquide, il faut exercer des augmentations de pression très fortes pour réduire le volume (un liquide est, en première approximation, incompressible).
Il est possible de faire le processus expérimental inverse en réduisant les pressions. On part de l’état liquide compressé. Lorsqu’on atteint la pression de vapeur saturante, il apparaît dans l ’enceinte la première bulle de gaz (le liquide se met à bouillir). Tant que le liquide est en ébullition, la pression reste constante, le volume augmente et il y a de plus en plus de gaz. Lorsqu’il n’y a plus que du gaz, il faut réduire la pression pour augmenter le volume.
 

Les faits expérimentaux sont repré-sentés pour différents niveaux de température tels que : L’ensemble des points E est l’ensemble des points où apparaît la première bulle gazeuse : ils forment la courbe d’ébullition. L’ensemble des points R est l’ensemble des points où apparaît la première goutte de liquide : ils forment la courbe de rosée. La courbe de saturation est formée de la courbe d’ébullition et de la courbe de rosée. Le point C, point supérieur de la courbe de saturation est appelé le point critique.

Ainsi pour des températures supérieures à la température Tc du point critique, un corps ne peut exister qu’à l’état gazeux.
La courbe de compression isotherme, pour la température critique, présente au point critique un point d’inflexion, la tangente y est horizontale.
En ce point, le corps pur obéit à son équation d’état, à  et à .

Une interprétation du point critique à partir de l’équation d’état de Van der Waals  donne : 
La mesure des coordonnées du point critique fournit des renseignements sur l’aspect microscopique de la matière.

Coordonnées du point critique de quelques corps

Vapeur sèche, vapeur saturante, liquide saturant

A une température donnée, le changement d’état liquide-gaz se produit à la pression p_V dite pression de vapeur saturante. Cette pression est inférieure à la pression critique et supérieure à celle du point triple.
La pression p_V ne dépend que de la température .
Un corps à l’état gazeux devient liquide par compression isotherme lorsqu’il atteint la pression de vapeur saturante. Inversement un corps liquide devient gazeux par détente isotherme lorsqu’il atteint la pression de vapeur saturante.
A des températures supérieures à la température critique, un corps est toujours gazeux quelque soit la pression.
Rappelons que l’état gazeux à des températures inférieures à la température critique (qui devient liquide par compression isotherme) est appelé vapeur sèche d’où le vocabulaire changement d’état (ou transition de phase) liquide-vapeur.
Dans le langage courant, on dit le gaz oxygène, le gaz azote et la vapeur d’eau.
La vapeur sèche jusqu’à sa limite où elle atteint la pression de vapeur saturante (elle est alors appelée vapeur saturante) obéit aux mêmes équations d’état que les gaz, en particulier à pressions suffisamment faibles l’équation d’état des gaz parfaits est adaptée.
Lorsque la pression d’un liquide est celle de la vapeur saturante, il est appelé liquide saturant.
A l’intérieur de la courbe de saturation, nous avons, à la pression de vapeur saturante, un " mélange " de liquide saturant et de vapeur saturante que nous appelons vapeur humide.
Liquide saturant et vapeur saturante pris seuls obéissent, en un point donné, aux équations d’état du liquide ou de la vapeur sèche dont ils sont la limite ; par contre, la vapeur humide a un comportement tout à fait différent et l’équation d’état est .

Vaporisation dans le vide
 

Nous introduisons dans les tubes des liquides différents. Ils se vaporisent, entièrement si les quantités introduites sont faibles, partiellement si les quantités introduites sont suffisantes (la pression est alors la pression de vapeur saturante). Les dénivellations par rapport au tube de référence sont différentes, la pression de vapeur saturante dépend du corps. A 20 °C pour l’éther, l’alcool et l’eau, on obtient respectivement de pressions de vapeur saturante de 442, 44 et 17,5 mm de mercure.

Vaporisation en atmosphère gazeuse

Contrairement à la vaporisation dans le vide qui est " instantanée ", la vaporisation dans un environnement gazeux est un phénomène lent.
La pression d’un mélange gazeux contenant plusieurs constituants dont certains sont dans des conditions de saturation est égale à : 
Le premier terme représente la somme des pressions partielles des divers gaz et vapeurs sèches, le second terme la somme des pressions des vapeurs saturantes.

Applications du changement d’état liquide-vapeur

L’étude des machines thermiques nous montrera l’importance du changement d’état liquide-vapeur.
Dans ce paragraphe, nous citerons :
- la condensation de l’eau sur les parois froides et la migration de l’humidité,
- les phénomènes de séchage,
- le stockage des fluides,
- l’exploitation des retards aux changements de phase pour la visualisation des trajectoires des particules, retard à la condensation dans le cas des chambres de Wilson, retard à l’ébullition pour les chambres à bulle.

6.4. Equilibre liquide-solide, équilibre solide-gaz

Les phénomènes de transitions de phase liquide-solide et solide-gaz sont analogues à ceux que nous avons étudiés pour la transition liquide-vapeur.
Cependant, pour ces équilibres, il n’y a pas de point critique.
Le phénomène de fusion est courant, celui de sublimation moins car la pression doit être inférieure à celle du point triple.
Dans les conditions ordinaires, nous citerons,
- l’odeur des cristaux de naphtalène,
- dans un tube à essais modérément chauffé, on observe la coexistence de cristaux d’iode et de vapeurs violettes d’iode.

Courbes de sublimation, de fusion, de vaporisation. Point triple
 

Dans un diagramme T, p traçons les trois courbes d’équilibre solide-gaz ou courbe de sublimation, liquide-vapeur ou courbe de vaporisation, liquide-solide ou courbe de fusion. Ces trois courbes se coupent nécessairement en un même point appelé point triple t . Au point triple, il y a coexistence des trois phases solide, liquide et gazeuse. Si nous faisons varier soit la pression, soit la température soient ces deux paramètres à partir du point triple, il y a disparition d’une ou deux phases.

La sublimation ne peut se produire pour des pressions supérieures à celle du point triple.
La courbe de fusion est toujours très proche de la verticale, généralement de pente positive. Dans le cas de l’eau, elle est négative ce qui explique l’expérience amusante du " regel de l’eau ".
La courbe de vaporisation est limitée par le point critique C et le point triple t. Certaines formules à caractère empirique plus ou moins marqué donnent de bonnes représentations de .

Nous citerons, la formule de Dupré , celle de Rankine , celle de Duperray valable pour l’eau entre 100 °C et 200 °C à savoir où la pression est en atmosphères et la température en Celsius.

Enfin, au risque de nous répéter, nous croyons important d’insister :
- les phénomènes de transitions de phase sont nettement marqués visuellement (formation de bulles dans un liquide ou d’un solide, d’un liquide à la surface d’un solide ou dans une vapeur) et accompagnés de " discontinuités " des propriétés physiques pour des températures inférieures à la température critique,
- si nous considérons la transformation AB représentée sur la figure ci-dessus, nous passons par les états vapeur, gaz et liquide sans phénomène visuel fortement marqué.

Il y a continuité de l’état gazeux et de l’état liquide, ces deux phases appartiennent à un même état appelé fluide et diffèrent par une plus ou moins grande densité des molécules.
Il ne faut donc pas s’étonner que les liquides obéissent à des équations d’état de même type que les gaz.
 

La figure ci-contre représente les transitions de phase solide, liquide et gaz dans un diagramme p, V .

6.5. Remarque

Les changements de phase des corps purs s’accompagnent d’échanges d’énergie considérables.
Cet aspect est abordé dans l’étude des transferts d’énergie.