Oscillateurs à plusieurs degrés de liberté
Oscillateurs à deux degrés de liberté
1 – Pendules de torsion couplés par élasticité
Deux cylindres pleins de moments d’inertie sont reliés (figure ci-après) entre eux et à deux points fixes par des fils dont les constantes de torsion sont .
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1) Etablir les équations différentielles
des mouve-ments des deux cylindres ; on désignera par
les distances angulaires à la position d’équilibre. |
2) L’un des cylindres étant fixe, quelles sont les pulsations des oscillations de l’autre ?
Dans la suite, on prendra .
3) On appelle coefficient de couplage .
Entre quelle limite varie
si on maintient
constants ?
On désigne par
les pulsations propres du système de pendules couplés avec .
Etablir l’équation dont
sont les racines. Construire la courbe .
Donner les valeurs de
dans le cas particulier où
est assez petit pour que l’on puisse considérer comme négligeable
les termes contenant .
Etudier la possibilité de mouvements symétriques ()
et antisymétriques ().
4) Que deviennent les résultats ci-dessus si et si (on posera ; Résoudre les équations du mouvement dans les conditions initiales précisées à la question 1 ; Représenter .
| Réponse 11 | Réponse 12 | Réponse 13 | Réponse 14 |
2 – Différents couplages
Pour chacun de systèmes ci-après, on calculera le coefficient de couplage et l'équation de conservation de l'énergie.
| Réponse 21 | Réponse 22 | Réponse 23 | Réponse 24 |
Oscillations libres à N degrés de liberté
On envisage successivement les systèmes ci-dessus constitués de masses ponctuelles m en interactions élastiques (symbolisées par des ressorts) suivant une direction. Le déplacement des masses a lieu suivant cette direction.
1) Ecrire, pour un système à une masse, deux masses, trois masses, …, N masses les équations du mouvement (on notera les déplacements, par rapport à leurs positions respectives d’équilibre, des masses numérotées à partir de la gauche et on posera ).
2) Trouver, pour les différents systèmes, une intégrale première du mouvement et exprimer une constante du mouvement.
3) Exprimer, pour les différents systèmes, les pulsations propres en adoptant une écriture systématique sous forme de déterminant. Conclusions.
Le système de ressorts et de masses envisagés ci-dessus peut symboliser une chaîne linéaire d’atomes d’un solide.