Dynamique du Point
Plan
1. Principe d'inertie
Annexe 1 : Espace - Temps
|
Les
illustrations et animations de Geneviève Tulloue
Tir parabolique
|
On appelle objet ponctuel (*)
un objet dont la position est déterminée à chaque
instant par la connaissance, au maximum, de trois paramètres.
* En Mécanique du solide, on montre que le mouvement du centre
de masse est celui d’un objet ponctuel auquel serait affectée la
masse entière du solide.
Il existe un référentiel absolu pour lequel un corps isolé (très éloigné de tout autre corps de telle sorte qu’il ne soit soumis à aucune action) est animé d’un mouvement de translation rectiligne, uniforme (cas particulier : est au repos).
Dans le mouvement de translation rectiligne, uniforme, il y a quelque
chose d’immuable puisque direction, sens et intensité de la vitesse
restent inchangés au cours du temps. Pour qu’il en soit ainsi, il
semble naturel qu’aucune interaction extérieure ne puisse perturber
le mouvement.
Longtemps les savants ont préféré au mouvement de translation
uniforme le mouvement circulaire. Ce dernier a par rapport à l’immuabilité
du mouvement :
- un mérite que n’a pas le mouvement de translation rectiligne,
uniforme : sa périodicité et sa reproductibilité qui
font que l’objet repasse régulièrement au même endroit,
-un inconvénient puisque la direction change à chaque
instant.
Le principe d’inertie basé sur le mouvement de translation
rectiligne, uniforme n’a pas été remis en cause par l’expérience
au cours de ces trois derniers siècles.
2. Principe fondamental de la dynamique classique (ou newtonienne)
Dans ce référentiel absolu, pour un objet ponctuel formé
de particules élémentaires en nombre donné, le principe
fondamental de la dynamique s’écrit :
où est
une entité mathématique vectorielle appelée force traduisant
l’action sur l’objet ponctuel. L’action totale peut être le résultat
de plusieurs actions, la force
est la résultante des forces associées à chaque action.
Le principe fondamental exprime que la force est proportionnelle à la
variation du vecteur vitesse
où est
le vecteur accélération.
Le facteur de proportionnalité m est appelé masse
d'inertie.
L’expérience courante montre que, si nous voulons accélérer
dans les mêmes conditions, deux objets différents, l’action
à exercer est différente. Il existe donc " quelque chose
" propre à l’objet qui traduit son caractère matériel
représenté par m.
Historiquement, les physiciens ont du introduire deux autres types
de masse pour traduire le caractère matériel d’un objet à
savoir la masse gravitationnelle et la masse pesante. Il est possible de
montrer que ces trois types de masse peuvent être confondus, aussi
le plus souvent on emploie l’expression masse sans autre précision.
Plus généralement, si le nombre de particules constituant l’objet
est variable, c’est à dire si la masse est variable au cours du mouvement,
où est
la quantité de mouvement.
Parmi les applications classiques des systèmes à masse
variable, il convient de citer la chute d'une goutte d'eau qui grossit
et surtout le mouvement par réaction (fusée).
4. Principe de l’invariance galiléenne
L'activité du physicien consiste à effectuer des observations
traduites par des mesures. Il est, en particulier, amené à
définir où et quand un événement s'est
produit. Un événement est défini par sa nature : une
lampe qui s’allume, un noyau qui se désintègre, deux trains
qui se croisent, … , il est repéré par quatre coordonnées
(trois d’espace et le temps).
On ne peut espérer des prédictions objectives en Physique
si le cadre théorique, les lois ne s’affranchissent pas des moyens
de description employés qui sont relatifs à l’observateur.
Le principe de l'invariance galiléenne, à savoir " les lois de la Physique sont identiques (on dit covariantes) dans tous les référentiels en translation uniforme les uns par rapport aux autres ", permet de répondre à cette difficulté en fixant le cadre des lois possibles.
En Mécanique classique, ceci est vérifié dans le cadre de la transformation de Galilée. En Mécanique relativiste, la transformation de Galilée doit être remplacée par la transformation de Lorentz.
Le lecteur pourra se reporter à l’annexe " Espace - Temps " et à la cinquième partie de cet ouvrage
5. Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen(*)
(*) Si cela s'avérait nécessaire pour une bonne compréhension des propos ci-dessus, le lecteur se reportera avec intérêt à l'annexe " Composition des mouvements "
où les
forces "fictives"
s'appellent forces d'inertie d'entraînement et force d'inertie de Coriolis.
sont respectivement
l’accélération relative de l’objet par rapport au référentiel
considéré, les accélérations d’entraînement
et de Coriolis dues au mouvement du référentiel considéré
par rapport au référentiel absolu.
Dans le cas où le mouvement du référentiel considéré
est une translation par rapport au référentiel absolu,
et la force d’inertie de Coriolis est nulle.
Si, en plus, cette translation est uniforme, l’accélération
et la force d’entraînement sont nulles.
L’accélération relative au référentiel
considéré est identique à celle par rapport au référentiel
absolu, le principe fondamental de la dynamique s’écrit identiquement
dans le référentiel considéré et dans le référentiel
absolu.
Les référentiels où le principe fondamental s’écrit
comme dans le référentiel absolu sont appelés référentiels
galiléens. Expérimentalement, un référentiel
est galiléen pour un mouvement donné si le
principe fondamental de la dynamique est vérifié en tenant
compte de la précision des mesures.
6. Principe de l’action et de la réaction
Soient deux points matériels M et M' ne subissant que des forces d'action
mutuelle. Soit
la force exercée sur M de la part de M' et soit
la force exercée sur M' de la part de M.
Le principe de l'action et de la réaction énonce que
et que la direction commune à ces deux forces est celle de MM'.
7. Les lois de la Mécanique dans le système solaire
L’étude des mouvements dans l’Univers, leur interprétation par les lois de la Mécanique sont, sans aucun doute, un point de départ tangible pour le développement de la Physique. A ce titre, Copernic, Galilée, Képler et Newton sont les fondateurs de la Physique.
Référentiel de Copernic : a, pour origine, le centre
de masse du système solaire; les directions sont définies
à partir de trois étoiles fixes; le Soleil concentre 99,85%
de la masse du système solaire, le centre de masse du système
solaire " se confond " avec celui du Soleil.
Pour le système solaire, le référentiel de Copernic est
le référentiel " le plus galiléen ", celui pour lequel
le Principe fondamental de la dynamique
est expérimentalement le mieux vérifié.
Référentiel géocentrique : a, pour origine,
le centre de masse de la Terre; ses directions sont fixes par rapport aux
direction du référentiel de Copernic; Le référentiel
géocentrique est en translation par rapport au référentiel
de Copernic; cette translation est, en première approximation à
"intensité de vitesse uniforme" puisque l’orbite de la Terre dans
le référentiel de Copernic est, en première approximation,
"circulaire". Cette translation n'est pas à "vecteur vitesse uniforme",
le référentiel géocentrique n'est pas "galiléen".
Référentiel terrestre (lié au sol)
Le référentiel terrestre a pour origine
le point O définissant le lieu, ses directions sont la direction
verticale CO et deux directions perpendiculaires dans le plan horizontal
(pour certains problèmes, les directions définies par le méridien
et le parallaxe sont commodes). Ce référentiel à une
vitesse de rotation (rotation propre de la Terre)
par rapport au référentiel géocentrique ou au référentiel
de Copernic.
Dans le référentiel terrestre, l’équation de la
dynamique en un point M pour un objet de masse m s’écrit
:
|
où,
- représente
la résultantes des forces appliquées à l’objet
- les forces
d’attraction universelle dues à la Terre
- les forces
d’attraction universelle dues aux autres systèmes matériels du
système solaire (dans la pratique la lune et le Soleil).
Dans le référentiel de Copernic, la relation fondamentale de la
dynamique pour le centre de masse C de la Terre s’écrit : .
où H est la projection de M sur l’axe de rotation de la Terre.
Ainsi l’équation fondamentale de la dynamique dans le référentiel
terrestre s’écrit :
L'application de cette relation sera faite dans le chapitre " Quelques phénomènes de dynamique terrestre "
8. Théorème de l'énergie cinétique
En multipliant la relation fondamentale de la dynamique dans un référentiel galiléen d'origine O pour un objet ponctuel situé en M, par la quantité , on obtient
9.1. Origine. Loi d’attraction universelle
Le raisonnement de Newton (17ème siècle) a reposé
sur le mouvement (supposé circulaire) de la Lune autour de la Terre.
"La Terre exerce sur la Lune une force attractive puisque celle-ci
ne s'éloigne pas d'elle, cette force est de même type que
celles qui s'exercent sur Terre dans la chute libre"
Nous reprenons le raisonnement de Newton pour les planètes du
système solaire qui, suivant les lois de Képler, effectuent
autour du soleil :
- des orbites planes
- en forme d'ellipse dont le Soleil est l'un des foyers
- de telle sorte que le rayon vecteur balaie, en un temps donné, une
aire constante. Ceci se traduit, en coordonnées polaires, par la relation
où T est la période de révolution.
; ; ;
; ; ; vecteur unitaire directement perpendiculaire à m masse de la planète P |
quelque soit la
planète gravitant autour du Soleil. Cette constante ne peut donc dépendre
que des caractéristiques du Soleil.
Complété par d'autres résultats expérimentaux (mouvement
de la Lune autour de la Terre, étude du champ de pesanteur terrestre)
ou par des mesures directes de l'attraction entre deux masses ponctuelles (pendule
Eötvös), on établit la loi d'attraction universelle
entre deux objets ponctuels de masses ,
situés en M et M' :
où
Depuis très longtemps, on avait remarqué que les corps
frottés sont capables d'attirer des objets légers.
Si l'on frotte avec un chiffon de laine une baguette d'ébonite
et si on approche celle-ci à quelques centimètres de petits
morceaux de papier, on verra ceux-ci sauter vers l'ébonite et se
coller à elle. Pour cette attraction où le corps attire des
corps légers, on dit qu'il est électrisé.
Suspendons une petite balle de sureau par un fil de soie à une
potence, touchons la balle à l'aide d'une baguette d'ébonite
électrisée, on s'apercevra aisément que la balle de
sureau devient capable d'attirer des corps légers : elle est devenue
électrisée. L'électricité se transmet par contact.
Touchons une seconde balle de sureau suspendue par la même baguette
et rapprochons les deux potences. On s'aperçoit que les deux balles
se repoussent fortement. Touchons une troisième balle de sureau
suspendue avec une baguette de verre frotté et approchons cette
potence d'une potence portant une balle électrisée à
l'ébonite : cette fois les deux balles s'attirent.
Il existe deux sortes d'électricité dites positive
et négative. Des corps chargés d'électricité
de même nature se repoussent, deux corps chargés d'électricité
de nature différente s'attirent ;
Grâce à la mise au point d'un appareillage appelé
" balance de Coulomb", celui-ci, à la fin du 18ème siècle,
établit la loi d'interaction entre particules de charges électriques
q
et q' dite force coulombienne :
où
La force coulombienne peut être attractive ou répulsive
(deux charges de signes opposés s'attirant, deux charges de même
signe se repoussant).
Remarque : la particularité des forces d'attraction universelle
et coulombiennes est de s'exercer à distance sans nécessité
d'un milieu matériel intermédiaire.
9.3. Etude des champs de forces en
Nous notons de manière unique les forces
d'attraction universelle ou les forces coulombiennes par la relation :
où Ÿ pour l'attraction universelle, pour la force coulombienne Ÿ p et p' sont égaux respectivement à m et m' ou q et q' Ÿ est le vecteur unitaire de et r la distance OM. |
On introduit la notion de champ de forces
en M par la relation .
Ceci veut dire qu’une masse ponctuelle m ou une charge q en O
crée en tout point de l’espace un champ de forces et qu’il ne s ‘exercera
une force que là où existe une autre masse ou une autre charge.
Dans le cas de l'attraction universelle
est généralement noté
(appelé champ de forces d’attraction universelle) et dans le cas coulombien (appelé
champ électrique)
9.3.1. Flux du vecteur à travers une surface. Théorème de Gauss
où
est l'angle solide élémentaire sous lequel de O on voit l'élément
de surface dS.
Si on intègre cette relation à une surface ferméeS,
3 cas peuvent se produire :
9.3.2. Potentiel scalaire V du vecteur. Equations de Poisson et de Laplace
Pour un élément p, le vecteur
vérifie la relation
avec .
L'opérateur mathématique gradient est un opérateur
linéaire, la relation ci-dessus, pour une distribution d'éléments,
s'écrit
Pour une distribution continue d'éléments, on obtient :
appelée équation de Poisson. Pour ,
la relation devient
appelée équation de Laplace.
Remarque : ð
L'étude des champs de forces en
est d’une importance considérable en physique puisque forces d'attraction
universelle et forces coulombiennes sont, à distance, les deux seules
forces fondamentales.
En Electricité, les relations ci-dessus sont très
utilisées, la relation locale du théorème de Gauss
constituant d'ailleurs une des équations de Maxwell. Des connaissances
sur le dipôle électrique, sur les liens entre distribution
de charges et champs ou potentiels électriques font partie de la
culture du physicien.
Nous invitons le lecteur, s’il le jugeait nécessaire, à
revoir ses cours ou à approfondir ses connaissances dans un ouvrage
d’Electrostatique.
Dans le domaine de l'attraction universelle (à tort moins
étudié), outre le cas d'une distribution volumique entre
deux plans qui correspond à l'existence des "hauts plateaux", l'application
" incontournable " est le cas d'une distribution volumique à symétrie
sphérique qui correspond aux planètes.
On montre que, vis à vis de l'extérieur, tout se passe
comme si toute la masse de la distribution était concentrée
en son centre.
10. Energie potentielle . Energie mécanique
10.1. Energie potentielle
Considérons un élément p' en une position de l'espace
où existe un potentiel
créé par une distribution d'éléments p.
Pour être à ce potentiel, il est " venu " d'une région
de l'espace où le potentiel était nul.
Pour une position quelconque, il est à un potentiel V et subit
une force .
Le travail de cette force (de l'opérateur extérieur pour un déplacement )
est égal à .
Le travail total pour passer du potentiel initial nul au potentiel final
est donc :
On appelle énergie potentiellede
l'élément p' à potentiel
la quantité
.
Pour un déplacement élémentaire, on peut écrire ,
soit encore
.
Les trois relations encadrées sont équivalentes et peuvent
servir de définition de l'énergie potentielle pour un élément
p'
.
La dernière présentation, à savoir un champ de forces dérive
d'une énergie potentielle si
(ce qui suppose mathématiquement des expressions particulières
pour ) est,
sans doute, la plus utilisée.
Il convient de distinguer deux types de forces, celles qui dérivent
d'une énergie potentielle que nous notons et
celles qui ne dérivent pas d'une énergie potentielle que nous
notons .
Le théorème de l'énergie cinétique, avec
cette distinction, s'écrit :
est appelée
énergie mécanique.
Sous forme intégrale, la relation ci-dessus s'écrit : .
10.2.1. Les forces conservatives
Les champs de forces qui dérivent d'énergies potentielles sont
appelés champs de forces conservatifs parce qu'ils conservent
l'énergie mécanique. Les autres forces ne conservent pas l'énergie
mécanique (
sauf dans certains cas très importants ð
voir Mécanique du solide).
La notion d'énergie potentielle est très importante en
Physique.
Il est important de bien en comprendre le " sens physique ",
l'exemple le plus simple se situant au niveau du champ de pesanteur terrestre.
Une masse m est soumise à son poids
où est
le champ de pesanteur (supposé uniforme).
Pour porter la masse m à une altitude z, la masse étant
au repos aux altitudes initiale et finale, un opérateur extérieur
effectue un travail en
absence de forces non conservatives.
Ce qui est fondamental réside dans le fait que la masse a acquis une
capacité à retomber sans aide extérieure, c'est à
dire à se mettre en mouvement toute seule, voire à entraîner
d'autres systèmes : elle a acquis un énergie potentielle .
Autrefois, l'énergie potentielle était appelée " force
morte ", c'est à dire représentait quelque chose de contenu dans
le système, " qu'on ne voyait pas ou qu'on oubliait " mais qui pouvait
être utilisée.
Au sens de la conservation de l'énergie, le travail de l'opérateur
extérieur n'est pas perdu, il est acquis, emmagasiné sous
forme d'énergie potentielle.
Dans la vie courante, acquérir une connaissance nouvelle, un savoir nouveau est souvent synonyme de disposer d'un potentiel nouveau.
10.2.2. Les forces non conservatives
Il faut distinguer,
celles produites par un opérateur extérieur qui peuvent
produire une augmentation ou une diminution de l'énergie mécanique,
et celles liées à des contraintes (c'est à dire
les forces au contact d'un autre objet, les forces de frottement si l'objet
se déplace dans un milieu fluide) qui, en s'opposant au mouvement
de l'objet, produisent une diminution (une perte) de l'énergie mécanique.
Nous envisageons un mobile dont la description du mouvement peut être
faite à l'aide d'un seul paramètre noté x. La position
à l'équilibre sera prise comme référence [
à l'équilibre et l'énergie potentielle y est notée ].
On écarte le mobile de l'équilibre, l'énergie
potentielle en x s'écrit :
On calcule la force liée à cette énergie potentielle par
soit .
Or à l'équilibre la force est nulle, soit .
Ainsi si
est suffisamment faible. La force est proportionnelle à x,
on dit qu'on est en présence d'une force élastique.
Si on écarte faiblement un système de sa position d’équilibre, il naît une force élastique (proportionnelle à l’écartement). Cette théorie n’explique l’origine physique interne de cette force.
Dans le cas où
[c'est à dire où ] sont
de signe contraire : la force agit pour rétablir l'équilibre.
L'équilibre est stable.
Si, au contraire,
[c'est à dire où ] sont
de même signe : la force accentue le déséquilibre. L'équilibre
est instable.
Il peut arriver que soient
de même signe d'un coté de l'équilibre et de signe contraire
de l'autre coté : l'équilibre est métastable.
En conclusion, on remarque que :
- pour un équilibre stable, l'énergie potentielle est
minimale à l'équilibre
- pour un équilibre instable, l'énergie potentielle est
maximale à l'équilibre.
Dans le cas d'un équilibre stable, la force s'écrit
avec et l'énergie
potentielle s'écrit .
L'opérateur extérieur fournit de l'énergie pour écarter
le mobile de sa position d'équilibre. L'opérateur extérieur
le contraint hors de la position d'équilibre. S'il cesse la contrainte,
le mobile revient vers sa position d'équilibre en perdant de l'énergie
potentielle et en acquérant de l'énergie cinétique. Sous
l'effet de cette énergie cinétique, il va dépasser la position
d'équilibre, perdre alors de l'énergie cinétique et regagner
de l'énergie potentielle et ainsi de suite : il va osciller autour de
la position d'équilibre et ne s'y stabilisera que s'il y a dissipation
d'énergie mécanique c'est à dire s'il y a des frottements.
Pour une force élastique, la pulsation d'oscillation est indépendante
de l'énergie initiale : on dit que l'on est en présence d'un
oscillateur
harmonique libre.
Si tel n'était pas le cas (déséquilibre initial
trop important) l'oscillateur est anharmonique, la pulsation dépend
de l'énergie initiale.
On peut forcer un mouvement autour de la position d'équilibre
: on est alors en présence d'un oscillateur forcé.
Les exemples les plus simples d'oscillations libres ou forcées
avec ou sans frottement en Mécanique sont le ressort et le pendule.
L’analogie avec le circuit (R,L,C) série en électricité
est classique.
On montre qu'en moyenne énergie cinétique et potentielle
d'une part et énergie électrique et magnétique d'autre
part sont égales (ce qui constitue des exemples simples d'application
du théorème d'équipartition de l'énergie).
On définit le facteur de qualité soit à partir
de la notion de bande passante soit à partir de considérations
énergétiques.
Ces notions font partie de la culture de base d’un physicien.
Référentiel
Un référentiel est une association de points rigidement
fixés entre eux c'est à dire formant un solide (exemples
: le laboratoire, le sol terrestre en un endroit particulier, la Terre,
...). Dans ce référentiel, il convient de définir
un repère pour situer les points dans l'espace et une échelle
de temps (horloge) pour caractériser les instants et les durées.
Repère
Il s'agit de définir un système de trois axes et d'y
adjoindre une unité de mesure des longueurs. Ainsi à un référentiel
donné, on peut associer différents repères.
Les repères les plus utilisés sont dans l'ordre : le
repère cartésien, le repère cylindrique -qui, dans
le plan, devient le repère polaire-, le repère sphérique
et le repère de Frénet.
Mesure des longueurs
La mesure des longueurs n'a pas posé de difficultés particulières
: on a défini des règles de référence appelées
étalons de longueur. Ainsi, pendant longtemps, le mètre-étalon
fut un barreau en platine iridié conservé à 20 °C
et à pression atmosphérique normale au Bureau international
des poids et mesures de Sèvres.
Le développement de l'optique a permis des définitions
plus précises à partir de la longueur d'onde d'émission
lumineuse.
Mesure du temps
La mesure du temps a posé beaucoup plus de difficultés.
L'homme disposait de plusieurs phénomènes naturels se
renouvelant, encore fallait-il y associer une périodicité
: durée entre deux passages successifs du Soleil au zénith
(jour solaire), durée entre le retour des saisons (année),
durée entre deux pleines lunes (mois lunaire).
Les difficultés se sont accrues avec la compréhension
des mouvements dans l'Univers (jour solaire ou jour sidéral défini
par rapport à des étoiles fixes), avec la découverte
des variations dans la rotation de la Terre sur elle-même ou de son
ralentissement séculaire dans son mouvement autour du Soleil.
Enfin, les besoins en mesures des durées vont de
à des millions d'années.
La seconde est définie à partir de la vibration de
l'atome de césium contrôlant la marche d'une horloge à
quartz vibrant.
Le mètre est la distance parcourue par les ondes électromagnétiques
planes dans le vide pendant une durée égale à 1/299792458
seconde.
Caractère absolu ou caractère relatif du temps
L'observateur envoie un flash lumineux de telle
sorte qu'après réflexion sur le miroir la lumière
revienne sur l'observateur.
On calcule la durée de l'aller et retour. Dans le référentiel de l'observateur, la durée est égale à . Dans le référentiel du miroir, la durée est égale à |
En réorganisant, on obtient
.
Le raisonnement semble d'une parfaite logique mais le résultat
surprend puisque la durée entre deux événements dépend
du référentiel ce qui veut dire que le temps n’a pas un
caractère absolu indépendant du référentiel.
L'explication appartient au domaine de la relativité et nous
n'en justifierons pas les fondements dans le cadre de cet annexe.
Les conséquences de la relativité sont trop importantes
pour ne pas noter sans être exhaustifs :
- la modification de la quantité de mouvement : ð,
- l'équivalence masse-énergie : ,
- le calcul théorique énergétique des réactions
nucléaires,
- la modification de la loi de gravitation universelle,
- la déviation des trajectoires des ondes électromagnétiques
par des objets matériels.
Transformation de Galilée et de Lorentz : le référentiel
(R') est en translation uniforme à vitesse
suivant la direction x ; les horloges des temps dans chacun des référentiels
sont réglées que les repères coïncident à l'origine
des temps ().
Cinématique classique |
Cinématique relativiste |
Ces équations montrent que, si ,
la cinématique classique (il en est, de même, pour la dynamique)
est suffisante, c’est à dire que l’on peut considérer, en première
approximation, que le temps a un caractère absolu indépendant
du référentiel.
Dans la pratique, la relativité doit être prise en compte pour
des vitesses supérieures à .
Annexe 2 : Composition des mouvements
Soit un point dont le mouvement peut être
analysé dans le référentiel
d’origine O ou dans le référentiel
(mouvement relatif) d’origine O’.
Les rôles de ces deux référentiels sont interchangeables
en cinématique, cependant dans le cadre de la dynamique sera
galiléen.
|
Un point M’, coïncidant au temps t avec le point M, fixe dans le référentiel a un mouvement, appelé mouvement d’entraînement, dans le référentiel
ð
La vitesse absolue (dans le référentiel )
est la somme de la vitesse d’entraînement (ne dépendant que du
mouvement d’entraînement) et de la vitesse relative (dans le référentiel
ou ne dépendant que du mouvement relatif).
En plus des termes accélération d’entraînement
(ne dépendant que du mouvement d’entraînement) et accélération
relative (ne dépendant que du mouvement relatif), il existe un terme
appelé accélération de Coriolis, résultat
d’un couplage entre le mouvement d’entraînement et le mouvement relatif.
Interprétation du terme de Coriolis en termes de champ de vitesses dans un solide
Soient A et B deux points quelconques d’un solide.
La relation ð
. Cette dernière relation est caractéristique d’un torseur, ensemble
d’un champ de moments et d’un vecteur résultant.
Par suite
Le champ de vitesses dans un solide est un champ de moments dont le vecteur
résultant est le vecteur rotation .
A chaque instant, le mouvement dans un solide se décompose en un mouvement
de translation de direction le vecteur rotation et en une rotation autour de
cette direction.
Si nous remarquons que dans le référentiel ,
les points O, I, J, K sont à distances constantes et peuvent être
considérés comme des points d’un même solide, alors on peut
écrire :
;
; et
où
représente le vecteur rotation du mouvement d’entraînement (c’est
à dire du référentiel
par rapport au référentiel )
Le cas particulier intéressant correspond à un vecteur
rotation d’entraînement nul (les deux référentiels
sont en translation l’un par rapport à l’autre), l’accélération
absolue est alors égale à l’accélération d’entraînement
plus celle relative. Si, de plus, l’accélération d’entraînement
est nulle, c’est à dire si les deux référentiels sont
en translation uniforme, alors l’accélération relative est
égale à l’accélération absolue.
Le cas d’un mouvement relatif nul représente l’équilibre
dans un référentiel en mouvement.
Annexe 3 : Les interactions fondamentales
Depuis Galilée et Newton, nous savons qu'il faut l'action d'une
force pour mettre en mouvement un objet au repos ou bien, au contraire,
stopper un objet en mouvement. C'est par la force qu'il exerce sur lui
que notre bras lance un ballon, et le bras du partenaire qui reçoit
le ballon fait de même. Plus généralement, c'est sous
l'action d'une force qu'est modifiée la vitesse d'un objet : le
train qui freine, comme celui qui accélère, est soumis à
l'action d'une force.
Notre expérience quotidienne nous conduit à envisager
toutes sortes de forces. Nous parlons par exemple de la force de contact
qu'exerce la raquette sur la balle de tennis, de la force de frottement
qui empêche nos pieds de glisser sur le sol et qui retient sur place
la voiture dont on a serré le frein, de notre poids qui nous maintient
sur Terre ou de la force de viscosité qui se manifeste lorsque nous
collons un papier adhésif.
Lorsqu'on cherche à comprendre la nature de ces effets très
variés, on s'aperçoit qu'ils peuvent tous se ramener à
quatre interactions fondamentales qui sont l'interaction électromagnétique,
l'interaction forte, l'interaction faible (interactions nucléaires)
et l'interaction gravitationnelle. Selon les circonstances, l'effet de
chacune d'elles nous est ou non perceptible et s'avère ou non dominant.
La plupart des forces que nous percevons dans la vie quotidienne sont
de nature électrique : c'est l'interaction électromagnétique
qui assure la cohésion de la matière solide ou qui gouverne
les mécanismes chimiques de notre corps.
L'interaction gravitationnelle se manifeste essentiellement à
nous par la pesanteur : c'est elle qui nous maintient sur le sol, qui fait
couler les rivières et rouler les pierres au bas des montagnes ;
c'est elle encore qui retient l'atmosphère terrestre.
Les interactions nucléaires ne se manifestent pas facilement
dans la vie courante : au sein des noyaux atomiques, elles maintiennent
ensemble les protons et les neutrons ; elles sont à l'origine de
la radioactivité et de l'énergie nucléaire ; ce sont
elles encore qui gouvernent la constitution des différents éléments
chimiques.
Interaction faible et interaction forte à l’intérieur du noyau atomique
Les neutrons et les protons sont maintenus ensemble dans le noyau par " l’interaction nucléaire forte " qui est attractive. C'est elle qui rend stables les noyaux atomiques composés essentiellement de protons et de neutrons, approximativement la même masse, le proton étant chargé positivement et le neutron n'étant pas chargé. L’interaction nucléaire forte est très intense, mais son rayon d'action est très court : elle ne se manifeste pratiquement plus au-delà de , ce qui est une distance faible, même à l'échelle des noyaux. Sa grande intensité explique la raison pour laquelle il faut des énergies considérables pour briser les noyaux.
Dans les laboratoires de physique des hautes énergies, on peut briser des noyaux atomiques en les bombardant avec des particules de très grande vitesse. Les noyaux se décomposent alors en neutrons, protons et noyaux plus légers, et aussi en de nouvelles particules élémentaires ; mais ces particules sont instables et disparaissent après une très courte durée pour donner naissance à des électrons et des protons. En dehors du noyau, les neutrons également ne sont pas stables et chacun se désintègre en un proton et un électron (avec émission d'un antineutrino). Ces désintégrations sont des manifestations d'une interaction appelée " interaction nucléaire faible". L'interaction nucléaire faible est à l'origine de la radioactivité b.
L'interaction nucléaire forte est environ cent millions de fois plus intense que l'interaction nucléaire faible.
Prépondérance de l’interaction gravitationnelle dans l’univers
Bien qu’il soit difficile d’observer ses effets entre les objets situés
à la surface de la Terre, la loi de la gravitation est une loi universelle
: elle régit aussi bien le mouvement de la pomme qui tombe du pommier
que le mouvement des planètes ou la forme des galaxies. Lorsque
Newton montra que la Lune, qui tourne autour de la Terre et la pomme, qui
tombe du pommier, subissent l'une et l'autre l'attraction de la Terre,
un
très grand pas fut franchi … dans le domaine de la mécanique
et dans la compréhension de la structure de l'univers.
L'interaction gravitationnelle est primordiale dans l'univers c'est
elle qui donne aux astres leur mouvement et leur structure.
On peut cependant se demander pourquoi, dans la mesure où son
intensité est très faible, comparée à celle
des autres interaction fondamentales (le lecteur pourra comparer pour deux
protons les intensités des forces gravitationnelle et coulombienne),
il se trouve que ce soit elle qui domine ainsi à grande échelle
dans l'univers.
Cela tient d'abord à la très courts portée des
interactions forte et faible dont l'effet disparaît totalement sur
des distances de l'ordre de dimension des noyaux.
Pour ce qui concerne les forces coulornbiennes, à grande échelle
les forces attractives entre charges de signes opposés sont compensées
par les forces répulsives entre charges de même signe, par
contre les forces élémentaires de gravitation, de très
faible intensité, toujours attractives, accumulent leurs effets
pour devenir prépondérantes à grande échelle.
Ceci nous fait comprendre pourquoi l'univers, en confrontant des masses
et des distances sans commune mesure avec celles que nous rencontrons à
l'échelle terrestre, apporte une contribution essentielle à
notre connaissance de la loi de la gravitation.
On peut aussi citer les étoiles pour lesquelles les réactions
thermonucléaires ne sont rendues possibles que par l’existence de
forces de gravitation qui compriment suffisamment la matière pour
lui permettre d'atteindre les températures élevées
que nécessitent ces réactions.